70. Вариант 70

Вариант 70

Задание 1

Ответ: д) $$4(x-y)=4x-4y$$ .

Задание 2

Ответ: в) $$8{,}8$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$У непрямоугольного параллелограмма противоположные углы не дополняют друг друга до 180°$

Задание 4

Ответ: $$-4;-3;-2;-1;0;1$$ .

$Целые числа в отрезке от −4,5 до 1,5$

Задание 5

Для геометрической прогрессии $b_n=b_1q^{n-1}$ . По условию $$b_1=2$$ , $$b_5=162$$ .

$Нечётные члены прогрессии не зависят от знака знаменателя q=±3$

b_5=b_1q^4;\quad162=2q^4;\quad q^4=81.

Так как $q^2\ge0$ , из $$(q^2)^2=81$$ получаем $$q^2=9$$ .

Найдём третий член:

b_3=b_1q^2=2\cdot9=18.

Ответ: $$18$$ .

Задание 6

Проведём высоту $$BK$$ к стороне $$AC$$ . По клеткам $$BK=3$$ , $$KC=4$$ .

$Треугольник ABC на клетчатой бумаге с высотой BK, катеты BK=3 и KC=4$

Треугольник $$BKC$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:

BC=\sqrt{BK^2+KC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.

По определению косинуса:

\cos\angle ACB=\dfrac{KC}{BC}=\dfrac45=0{,}8.

Ответ: 0,8.

Задание 7

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[(x-2)^2+(x+5)^2=37;\]

\[x^2-4x+4+x^2+10x+25=37;\]

2x^2+6x-8=0;\quad x^2+3x-4=0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

\[(x+4)(x-1)=0.\]

Отсюда $$x=-4$$ или $$x=1$$ .

Ответ: $$-4;1$$ .

Задание 8

При сдвиге графика $$y=x^2$$ на 4 единицы влево получаем $$y=(x+4)^2$$ , а затем на 2 единицы вниз:

$График функции$

\[f(x)=(x+4)^2-2.\]

В точках пересечения с прямой $$y=7$$ значения функций равны:

(x+4)^2-2=7;\quad(x+4)^2=9.

$$x+4=3$$ или $$x+4=-3$$ .

Значит, $$x=-1$$ или $$x=-7$$ .

Ответ: $$-7;-1$$ .

Задание 9

Расстояние от школы до зала равно 1,5 км. Пусть Алеся встретит Ивана на расстоянии $$x$$ км от зала.

$Алеся доходит до зала и возвращается навстречу Ивану$

До встречи Алеся пройдёт $$1{,}5+x$$ км, а Иван — $$1{,}5-x$$ км. Они вышли одновременно, поэтому время в пути одинаково:

\dfrac{1{,}5+x}{4{,}5}=\dfrac{1{,}5-x}{3{,}5}.

По основному свойству пропорции:

\[3{,}5(1{,}5+x)=4{,}5(1{,}5-x);\]

5{,}25+3{,}5x=6{,}75-4{,}5x;\quad8x=1{,}5;

$$x=0{,}1875$$ км $$=187{,}5$$ м.

Ответ: 187,5 м.

Задание 10

Обозначим $O=AK\cap BM$ . По условию $AK\perp BM$ , $$AK=BM=12$$ .

$Треугольник ABC, перпендикулярные медиана AK и биссектриса BM, дополнительный отрезок KN параллельно BM$

1) В $\triangle ABK$ биссектриса $$BO$$ является также высотой. Поэтому $\triangle ABK$ равнобедренный и $$BO$$ — медиана.

AO=OK=\dfrac{AK}{2}=6.

2) Проведём $KN\parallel BM$ , где $N\in MC$ . Так как $$BK=KC$$ , отрезок $$KN$$ — средняя линия $\triangle BMC$ . Тогда:

KN=\dfrac12BM=6.

3) В $\triangle AKN$ точка $$O$$ — середина $$AK$$ , а $OM\parallel KN$ . Значит, $$OM$$ — средняя линия:

OM=\dfrac12KN=3;\quad BO=BM-OM=12-3=9.

4) По теореме Пифагора в $\triangle AOB$ :

AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}.

Ответ: $3\sqrt{13}$ .