69. Вариант 69

Вариант 69

Задание 1

Ответ: в) $$3(x-y)=3x-3y$$ .

Задание 2

Ответ: а) $$1{,}2$$ .

Задание 3

Ответ: г).

$В прямоугольник 4 на 2 нельзя вписать окружность, касающуюся всех сторон$

Задание 4

Ответ: $$-3;-2;-1;0;1$$ .

$Целые числа в отрезке от −3,8 до 1,3$

Задание 5

Для геометрической прогрессии $b_n=b_1q^{n-1}$ . По условию $$b_1=5$$ , $$b_6=160$$ .

$Шесть членов геометрической прогрессии со знаменателем 2$

b_6=b_1q^5;\quad160=5q^5;\quad q^5=32.

Так как $$2^5=32$$ , знаменатель прогрессии $$q=2$$ .

Найдём четвёртый член:

b_4=b_1q^3=5\cdot2^3=5\cdot8=40.

Ответ: $$40$$ .

Задание 6

Проведём высоту $$BK$$ к стороне $$AC$$ . По клеткам $$AK=3$$ , $$BK=4$$ .

$Треугольник ABC на клетчатой бумаге с высотой BK, катеты AK=3 и BK=4$

Треугольник $$ABK$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:

AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.

По определению синуса:

\sin\angle BAC=\dfrac{BK}{AB}=\dfrac45=0{,}8.

Ответ: 0,8.

Задание 7

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[(x-4)^2+(x+6)^2=82;\]

\[x^2-8x+16+x^2+12x+36=82;\]

2x^2+4x-30=0;\quad x^2+2x-15=0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

\[(x+5)(x-3)=0.\]

Отсюда $$x=-5$$ или $$x=3$$ .

Ответ: $$-5;3$$ .

Задание 8

При сдвиге графика $$y=x^2$$ на 3 единицы вправо получаем $$y=(x-3)^2$$ , а затем на 7 единиц вниз:

$График функции$

\[f(x)=(x-3)^2-7.\]

В точках пересечения с прямой $$y=9$$ значения функций равны:

(x-3)^2-7=9;\quad(x-3)^2=16.

$$x-3=4$$ или $$x-3=-4$$ .

Значит, $$x=7$$ или $$x=-1$$ .

Ответ: $$-1;7$$ .

Задание 9

Расстояние от школы до зала равно 1,25 км. Пусть Саша встретит Свету на расстоянии $$x$$ км от зала.

$Саша доходит до зала и возвращается навстречу Свете$

До встречи Саша пройдёт $$1{,}25+x$$ км, а Света — $$1{,}25-x$$ км. Они вышли одновременно, поэтому время в пути одинаково:

\dfrac{1{,}25+x}{5}=\dfrac{1{,}25-x}{3}.

Умножим на 15 и решим уравнение:

\[3(1{,}25+x)=5(1{,}25-x);\]

3{,}75+3x=6{,}25-5x;\quad8x=2{,}5;

$$x=0{,}3125$$ км $$=312{,}5$$ м.

Ответ: 312,5 м.

Задание 10

Обозначим $O=AM\cap BK$ . По условию $AM\perp BK$ , $$AM=BK=20$$ .

$Треугольник ABC, перпендикулярные медиана AM и биссектриса BK, дополнительный отрезок MN параллельно BK$

1) В $\triangle ABM$ отрезок $$BO$$ является биссектрисой и высотой. Поэтому этот треугольник равнобедренный, а $$BO$$ — также медиана.

AO=OM=\dfrac{AM}{2}=10.

2) Проведём $MN\parallel BK$ , где $N\in KC$ . Так как $$BM=MC$$ , отрезок $$MN$$ — средняя линия $\triangle BKC$ . Тогда:

MN=\dfrac12BK=10.

3) Так как $$AO=OM$$ и $OK\parallel MN$ , отрезок $$OK$$ — средняя линия $\triangle AMN$ :

OK=\dfrac12MN=5;\quad BO=BK-OK=20-5=15.

4) По теореме Пифагора в $\triangle AOB$ :

AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{10^2+15^2}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}.

Ответ: $5\sqrt{13}$ .