68. Вариант 68

Вариант 68

Задание 1

Ответ: в) 7.

Задание 2

Ответ: б) $$-5$$ .

$График функции$

Задание 3

Ответ: а).

$У квадрата четыре прямых угла: сумма 360°$

Задание 4

Ответ: $$x=-0{,}2$$ .

Задание 5

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$Числовая прямая: ОДЗ: x ≤ 3; натуральные x: 1, 2, 3$

$9-3x\ge0\Rightarrow-3x\ge-9\Rightarrow x\le3$ .

Натуральные числа $:\, 1, 2, 3.$ Сумма: $$ 1 + 2 + 3 = 6. $$

Ответ: $$6.$$

Задание 6

В арифметической прогрессии $$a_n=a_1+(n-1)d$$ . По условию $$a_2=5$$ , $$d=-2$$ .

$Арифметическая прогрессия: от второго до восьмого члена шесть шагов по −2$

Тогда $$a_2=a_1+d$$ , то есть $$5=a_1-2$$ . Отсюда $$a_1=7$$ .

Найдём восьмой член:

a_8=a_1+7d=7+7\cdot(-2)=7-14=-7.

Ответ: $$-7$$ .

Задание 7

Для описанного четырёхугольника $$AB+CD=AD+BC$$ . В параллелограмме $$AB=CD$$ , $$AD=BC$$ , поэтому $$2AB=2AD$$ : это ромб.

$Ромб ABCD с диагоналями, вписанной окружностью и радиусом OH к стороне AD$

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой $$O$$ пополам:

$$AO=24:2=12$$ см; $$OD=10:2=5$$ см.

По теореме Пифагора $AD=\sqrt{12^2+5^2}=13$ см.

Радиус $OH\perp AD$ . Выразим площадь $\triangle AOD$ двумя способами:

$\dfrac12AO\cdot OD=\dfrac12AD\cdot OH$ .

$r=OH=\dfrac{AO\cdot OD}{AD}=\dfrac{12\cdot5}{13}=\dfrac{60}{13}$ см.

Ответ: $\dfrac{60}{13}=4\dfrac8{13}$ см.

Задание 8

ОДЗ: $x^{16}-256\ne0$ , то есть $x\ne\pm\sqrt2$ .

$Постоянное значение −1 при исключённых x = ±√2$

Последовательно применим формулу $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$ :

\[(2-x^2)(2+x^2)=4-x^4;\]

\[(4-x^4)(4+x^4)=16-x^8;\]

(16-x^8)(16+x^8)=256-x^{16}.

Поэтому $\dfrac{256-x^{16}}{x^{16}-256}=-1$ при допустимых $$x$$ .

Ответ: $$-1$$ .

Задание 9

Пусть запланированная скорость велосипедиста равна $$v$$ км/ч. Тогда запланированное время равно $t=\dfrac{120}{v}$ ч.

$Велосипедист проходит две равные половины пути со скоростями 0,8v и 1,2v$

Каждая половина маршрута имеет длину 60 км. Скорость на первой половине — $$0{,}8v$$ , на второй — $$1{,}2v$$ . Фактическое время:

t_{\text{факт}}=\dfrac{60}{0{,}8v}+\dfrac{60}{1{,}2v}=\dfrac{75}{v}+\dfrac{50}{v}=\dfrac{125}{v}.

Найдём отношение фактического времени к запланированному:

\dfrac{t_{\text{факт}}}{t}=\dfrac{125}{v}:\dfrac{120}{v}=\dfrac{25}{24}=1+\dfrac1{24}.

Время увеличилось на $\dfrac1{24}$ первоначального времени. В процентах это:

\dfrac1{24}\cdot100\%=\dfrac{25}{6}\%=4\dfrac16\%.

Ответ: увеличилось на $4\dfrac16\%$ .

Задание 10

Пусть $$KLMN$$ — вписанный квадрат, $KL\parallel AC$ , а $$P$$ — точка пересечения $$KL$$ с высотой $$BH$$ .

$Треугольник ABC с вписанным квадратом KLMN, высотой BH и точкой P$

Обозначим сторону квадрата через $$x$$ см. Тогда $$KL=PH=x$$ , а $$BP=30-x$$ .

Треугольники $$BKL$$ и $$BAC$$ подобны по двум углам, так как $KL\parallel AC$ .

Отношение соответствующих высот равно отношению соответствующих сторон:

\dfrac{BP}{BH}=\dfrac{KL}{AC};\quad\dfrac{30-x}{30}=\dfrac{x}{60}.

60(30-x)=30x;\quad1800-60x=30x;

$90x=1800;\quad x=20$ см.

Площадь квадрата $$S=x^2=20^2=400$$ см $$^2$$ .

Ответ: 400 см $$^2$$ .