67. Вариант 67

Вариант 67

Задание 1

Ответ: д) 2.

Задание 2

Ответ: в) $$-1$$ .

$График функции$

Задание 3

Ответ: г).

$У квадрата четыре прямых угла: сумма 360°$

Задание 4

Ответ: $$x=-0{,}1$$ .

Задание 5

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$Числовая прямая: ОДЗ: x ≤ 3; натуральные x: 1, 2, 3$

$-2x+6\ge0\Rightarrow -2x\ge-6\Rightarrow x\le3$ .

Натуральные значения $x:\, 1, 2, 3.$ Сумма: $$1 + 2 + 3 = 6$$ .

Ответ: $$6.$$

Задание 6

Разность прогрессии $$d=-2$$ , третий член $$a_3=9$$ .

$Арифметическая прогрессия: от третьего до девятого члена шесть шагов по −2$

\[ a_3 = a_1 + 2d = 9 \]

a_1 + 2(-2) = 9 \quad \Rightarrow \quad a_1 - 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 13

\[ a_9 = a_1 + 8d = 13 + 8(-2) = 13 - 16 = -3 \]

Ответ: $$-3$$ .

Задание 7

Для описанного четырёхугольника $$AB+CD=AD+BC$$ . В параллелограмме $$AB=CD$$ , $$AD=BC$$ , поэтому $$2AB=2AD$$ : это ромб.

$Ромб ABCD с диагоналями, вписанной окружностью и радиусом OH к стороне AD$

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой $$O$$ пополам:

$$AO=8:2=4$$ см; $$OD=6:2=3$$ см.

По теореме Пифагора $AD=\sqrt{4^2+3^2}=5$ см.

Радиус $OH\perp AD$ . Выразим площадь $\triangle AOD$ двумя способами:

$\dfrac12AO\cdot OD=\dfrac12AD\cdot OH$ .

$r=OH=\dfrac{AO\cdot OD}{AD}=\dfrac{4\cdot3}{5}=2{,}4$ см.

Ответ: 2,4 см.

Задание 8

ОДЗ: $256x^{16}-1\ne0$ , то есть $x\ne\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$Постоянное значение −1 при исключённых x = ±√2/2$

Последовательно применим формулу $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$ :

\[(1-2x^2)(1+2x^2)=1-4x^4;\]

\[(1-4x^4)(1+4x^4)=1-16x^8;\]

(1-16x^8)(1+16x^8)=1-256x^{16}.

Поэтому данное выражение равно:

$\dfrac{1-256x^{16}}{256x^{16}-1}=-1$ при допустимых $$x$$ .

Ответ: $$-1$$ .

Задание 9

Пусть запланированная скорость туриста равна $$v$$ км/ч. Тогда запланированное время равно $t=\dfrac{20}{v}$ ч.

$Турист проходит две равные половины маршрута с разными скоростями$

Каждая половина маршрута имеет длину 10 км. Скорость на первой половине — $$0{,}9v$$ , на второй — $$1{,}1v$$ . Фактическое время:

t_{\text{факт}}=\dfrac{10}{0{,}9v}+\dfrac{10}{1{,}1v}=\dfrac{100}{9v}+\dfrac{100}{11v}=\dfrac{2000}{99v}.

Найдём отношение фактического времени к запланированному:

\dfrac{t_{\text{факт}}}{t}=\dfrac{2000}{99v}:\dfrac{20}{v}=\dfrac{100}{99}=1+\dfrac1{99}.

Время увеличилось на $\dfrac1{99}$ первоначального времени. В процентах это:

\dfrac1{99}\cdot100\%=\dfrac{100}{99}\%=1\dfrac1{99}\%.

Ответ: увеличилось на $1\dfrac1{99}\%$ (примерно на 1,01%).

Задание 10

Пусть $$KLMN$$ — вписанный квадрат, $KL\parallel AC$ , а $$P$$ — точка пересечения $$KL$$ с высотой $$BH$$ .

$Треугольник ABC с вписанным квадратом KLMN, высотой BH и точкой P$

Обозначим сторону квадрата через $$x$$ см. Тогда $$KL=PH=x$$ , а $$BP=20-x$$ .

Треугольники $$BKL$$ и $$BAC$$ подобны по двум углам, так как $KL\parallel AC$ .

Отношение соответствующих высот равно отношению соответствующих сторон:

\dfrac{BP}{BH}=\dfrac{KL}{AC};\quad\dfrac{20-x}{20}=\dfrac{x}{30}.

30(20-x)=20x;\quad600-30x=20x;

$50x=600;\quad x=12$ см.

Площадь квадрата $$S=x^2=12^2=144$$ см $$^2$$ .

Ответ: 144 см $$^2$$ .