66. Вариант 66

Вариант 66

Задание 1

Ответ: д) $y \cdot y \cdot y \cdot y = y^4$ .

Задание 2

Ответ: б) $0{,}2;0{,}02;0{,}002;\ldots$ .

$Геометрическая прогрессия: каждый член делится на 10$

Задание 3

Ответ: в) — неверно.

$Косинус 120° — отрицательная абсцисса точки единичной окружности$

Задание 4

Ответ: с осью $$Ox$$ : $$(-2{,}5;0)$$ ; с осью $$Oy$$ : $$(0;5)$$ .

$График функции$

Задание 5

\dfrac{m^2}{m - 1} \cdot \dfrac{m^2 - 2m + 1}{2m^3} = \dfrac{m^2}{m - 1} \cdot \dfrac{(m-1)^2}{2m^3} =

$= \dfrac{m^2 (m -1)}{2m^3} = \dfrac{m -1}{2m}$ .

ОДЗ: $m\ne0;1$ .

Ответ: $\dfrac{m -1}{2m}$ .

Задание 6

При замене $t=x^2\ge0$ получаем $$t^2-40t+144=0$$ .

$D=40^2-4\cdot144=1024=32^2$ .

$t_1=\dfrac{40+32}{2}=36;\quad t_2=\dfrac{40-32}{2}=4$ .

Оба корня неотрицательны: $x^2=36\Rightarrow x=\pm6$ ; $x^2=4\Rightarrow x=\pm2$ .

$Числовая прямая: Четыре корня исходного уравнения$

Ответ: $$-6;-2;2;6$$ .

Задание 7

Обозначим основания трапеции $$a,b$$ , боковую сторону — $$c$$ .

$Равнобедренная трапеция с вписанной окружностью радиуса 2 и высотой EF$

Высота равна диаметру вписанной окружности: $$h=2r=4$$ см.

Из формулы площади $S=\dfrac{a+b}{2}h$ получаем $a+b=\dfrac{2\cdot24}{4}=12$ см.

Суммы противоположных сторон описанной трапеции равны: $$a+b=2c$$ .

Тогда $$c=12:2=6$$ см. Ответ: 6 см.

Задание 8

Решим неравенство $\dfrac{2x-1}{x^2+x-12}>\dfrac12$ . ОДЗ: $x\ne-4;3$ .

Перенесём $\dfrac12$ влево и приведём к общему знаменателю:

$\dfrac{2(2x-1)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)}>0$ ;

$\dfrac{-x^2+3x+10}{2(x^2+x-12)}>0$ , то есть

$\dfrac{(x-5)(x+2)}{2(x+4)(x-3)}<0$ .

Критические точки: $$-4;-2;3;5$$ . Знаки дроби:

$Метод интервалов: открытые границы −4, −2, 3 и 5$

Получаем $x\in(-4;-2)\cup(3;5)$ . Границы исключены из-за строгого неравенства и ОДЗ.

Целые решения: $$-3$$ и $$4$$ . Их сумма $$-3+4=1$$ .

Ответ: 1.

Задание 9

Радиусы $$OA$$ и $$OB$$ образуют угол $45^\circ$ ; хорда $$AB$$ отсекает искомый сегмент.

$Круг с хордой, радиусами и углом 45 градусов$

Из $C=2\pi R=8\pi$ получаем $$R=4$$ .

Площадь сектора: $S_{\text{сект.}}=\dfrac{45}{360}\pi\cdot4^2=2\pi$ .

Площадь треугольника: $S_{\triangle AOB}=\dfrac12\cdot4^2\sin45^\circ=4\sqrt2$ .

Вычтем площадь треугольника: $S_{\text{сегм.}}=2\pi-4\sqrt2$ .

Ответ: $2\pi-4\sqrt2$ .

Задание 10

Пусть $$S_1,S_2$$ — расстояния, а $$v_1,v_2$$ — скорости первой и второй авиамоделей.

$Связь расстояний и скоростей двух авиамоделей$

По условию $$S_1=0.9S_2$$ и $$S_2-S_1=480$$ м. Значит:

$$S_2=480:0.1=4800$$ м; $S_1=0.9\cdot4800=4320$ м.

Также $$v_1=1.2v_2$$ и $$v_1-v_2=1$$ м/с. Тогда:

$$v_2=1:0.2=5$$ м/с; $v_1=1.2\cdot5=6$ м/с.

Время полёта $$t=S:v$$ :

$$t_1=4320:6=720$$ с $$=12$$ мин;

$$t_2=4800:5=960$$ с $$=16$$ мин.

Ответ: первая модель — 12 минут, вторая — 16 минут.