65. Вариант 65

Вариант 65

Задание 1

Ответ: в) $$x + x + x = 3x$$ .

Задание 2

Ответ: а) $5;15;45;\ldots$ .

$Геометрическая прогрессия: каждый член умножается на 3$

Задание 3

Ответ: б).

$На единичной окружности синус 120° положителен$

Задание 4

Ответ: с осью $$Ox$$ : $$(-1{,}5;0)$$ ; с осью $$Oy$$ : $$(0;3)$$ .

$График функции$

Задание 5

\dfrac{m^3}{m+1} \cdot \dfrac{m^2 + 2m + 1}{2m^4} = \dfrac{m^3}{m+1} \cdot \dfrac{(m + 1)^2}{2m^4} =

= \dfrac{m^3 (m +1)^2}{2m^4 (m +1)} = \dfrac{m^3 (m +1)}{2m^4} = \dfrac{m +1}{2m}.

ОДЗ: $m\ne-1;0$ .

Ответ: $\dfrac{m + 1}{2m}$ .

Задание 6

При замене $t=x^2\ge0$ получаем $$t^2-29t+100=0$$ .

$D=29^2-4\cdot100=441=21^2$ .

$t_1=\dfrac{29+21}{2}=25;\quad t_2=\dfrac{29-21}{2}=4$ .

Оба корня неотрицательны: $x^2=25\Rightarrow x=\pm5$ ; $x^2=4\Rightarrow x=\pm2$ .

$Числовая прямая: Четыре корня исходного уравнения$

Ответ: $$-5;-2;2;5$$ .

Задание 7

Обозначим основания трапеции $$a,b$$ , боковую сторону — $$c$$ .

$Равнобедренная трапеция с вписанной окружностью и высотой EF$

Высота равна диаметру вписанной окружности: $$h=2r=8$$ см.

Из формулы площади $S=\dfrac{a+b}{2}h$ получаем $a+b=\dfrac{2\cdot80}{8}=20$ см.

Суммы противоположных сторон описанной трапеции равны: $$a+b=2c$$ .

Тогда $$c=20:2=10$$ см.

Ответ: 10 см.

Задание 8

Решим неравенство $\dfrac{2x-10}{x^2+x-12}>1$ . ОДЗ: $x\ne-4;3$ .

Перенесём 1 влево и приведём к общему знаменателю:

$\dfrac{2x-10-(x^2+x-12)}{x^2+x-12}>0$ ;

$\dfrac{-x^2+x+2}{x^2+x-12}>0$ , то есть

$\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x+4)(x-3)}<0$ .

Критические точки: $$-4;-1;2;3$$ . Знаки дроби:

$Метод интервалов: открытые границы −4, −1, 2 и 3$

Получаем $x\in(-4;-1)\cup(2;3)$ . Все границы исключены: в числителе — строгое неравенство, в знаменателе — ОДЗ.

Целые решения: $$-3$$ и $$-2$$ ; в $$(2;3)$$ целых чисел нет. Их сумма $$-3-2=-5$$ .

Ответ: $$-5$$ .

Задание 9

Радиусы $$OA$$ и $$OB$$ образуют угол $30^\circ$ ; хорда $$AB$$ отсекает искомый сегмент.

$Круг с хордой, радиусами и углом 30 градусов$

Из $C=2\pi R=12\pi$ получаем $$R=6$$ .

Площадь сектора: $S_{\text{сект.}}=\dfrac{30}{360}\pi\cdot6^2=3\pi$ .

Площадь треугольника: $S_{\triangle AOB}=\dfrac12\cdot6^2\sin30^\circ=9$ .

Площадь сегмента — разность этих площадей: $S_{\text{сегм.}}=3\pi-9$ .

Ответ: $3\pi-9$ .

Задание 10

Пусть $$S_1,S_2$$ — расстояния, а $$v_1,v_2$$ — скорости первого и второго планеров.

$Связь расстояний и скоростей двух планеров$

По условию $$S_1=0.8S_2$$ и $$S_2-S_1=1080$$ м. Значит:

$$S_2=1080:0.2=5400$$ м; $S_1=0.8\cdot5400=4320$ м.

Также $$v_1=1.2v_2$$ и $$v_1-v_2=2$$ м/с. Тогда:

$$v_2=2:0.2=10$$ м/с; $v_1=1.2\cdot10=12$ м/с.

Время полёта $$t=S:v$$ :

$$t_1=4320:12=360$$ с $$=6$$ мин;

$$t_2=5400:10=540$$ с $$=9$$ мин.

Ответ: первый планер — 6 минут, второй — 9 минут.