64. Вариант 64

Вариант 64

Задание 1

Ответ: г) $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b = b^6$ .

Задание 2

Ответ: д) $\dfrac57$ .

Задание 3

Ответ: в).

$Контрпример: прямоугольник со сторонами 4 и 2$

Задание 4

Ответ: $-\dfrac{16}{121}$ .

Задание 5

\[4.5 : 3 + 3.3 = 1.5 + 3.3 = 4.8\]

$24 процента искомого числа равны 4,8$

Пусть искомое число равно $$x$$ . Тогда:

0.24x = 4.8 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{4.8}{0.24} = 20

Ответ: $$20.$$

Задание 6

Радиусы $$OA=OB=OC$$ , поэтому треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равнобедренные.

$Треугольник ABC на окружности: O внутри, угол ABO 20°, угол ACO 40°$

$\angle OAB=\angle OBA=20^\circ$ , откуда $\angle AOB=180^\circ-2\cdot20^\circ=140^\circ$ .

$\angle OAC=\angle OCA=40^\circ$ , откуда $\angle AOC=180^\circ-2\cdot40^\circ=100^\circ$ .

Центр $$O$$ лежит внутри $\triangle ABC$ . Поэтому три центральных угла составляют полный угол:

$\angle BOC=360^\circ-140^\circ-100^\circ=120^\circ$ .

Ответ: $120^\circ$ .

Задание 7

Для нахождения формулы линейной функции используем уравнение вида: $$ f(x) = kx + b $$ .

$График функции$

Подставим координаты точки $$B(0; 0)$$ :

$0 = k \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 0$ .

Подставим координаты точки $$A(3; 6)$$ :

$6 = k \cdot 3 + 0 \quad \Rightarrow \quad k = \dfrac{6}{3} = 2$ .

Формула функции: $$ f(x) = 2x $$ .

f(1) = 2 \cdot 1 = 2;\quad\quad f(-2) = 2 \cdot (-2) = -4.

$$ f(1) + f(-2) = 2 + (-4) = -2 $$ .

Ответ: $$ f(x) = 2x $$ , $$ f(1) + f(-2) = -2 $$ .

Задание 8

ОДЗ: $x\ne3$ . При этом $$(x-3)^2>0$$ , поэтому умножим неравенство на знаменатель:

$Числовая прямая: Точка 3 исключена по ОДЗ$

16\ge(x-3)^2;\quad(x-3)^2-16\le0.

Разложим разность квадратов на множители:

(x-3-4)(x-3+4)\le0;\quad(x-7)(x+1)\le0.

Произведение неположительно между корнями, включая их: $-1\le x\le7$ . Исключим $$x=3$$ по ОДЗ.

Ответ: $x\in[-1;3)\cup(3;7]$ .

Задание 9

Пусть скорость течения равна $$x$$ км/ч, где $$x>0$$ . Тогда скорость плота равна $$x$$ км/ч, а катера по течению — $$x+18$$ км/ч.

$Плот и катер проходят 20 км по течению до встречи; катер выходит на 9 ч позже$

До встречи плот прошёл 20 км за $\dfrac{20}{x}$ ч, а катер — за $\dfrac{20}{x+18}$ ч. Плот был в пути на 9 ч дольше, поэтому:

\dfrac{20}{x}-\dfrac{20}{x+18}=9.

Умножим на $$x(x+18)$$ :

\[20(x+18)-20x=9x(x+18);\]

360=9x^2+162x;\quad x^2+18x-40=0.

D=18^2+4\cdot40=484=22^2.

x_1=\dfrac{-18+22}{2}=2;\quad x_2=\dfrac{-18-22}{2}=-20.

Отрицательное значение не соответствует условию.

Ответ: 2 км/ч.

Задание 10

Дано: $$AB=AC=6$$ , медиана $$BK=4$$ . Найти $$BC$$ .

$Треугольник ABC и продолжение медианы BK до L, параллелограмм BALC$

1) Продолжим $$BK$$ за $$K$$ и отложим $$KL=BK=4$$ . Соединим $$L$$ с $$A$$ и $$C$$ .

Диагонали $$AC$$ и $$BL$$ четырёхугольника $$BALC$$ делятся точкой $$K$$ пополам. Поэтому $$BALC$$ — параллелограмм.

2) По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

\[2AB^2+2BC^2=BL^2+AC^2.\]

По построению $$BL=2BK=8$$ . Подставим данные:

2\cdot6^2+2BC^2=8^2+6^2;

72+2BC^2=64+36;\quad2BC^2=28;

$$BC^2=14.$$ Так как длина положительна, $BC=\sqrt{14}$ .

Ответ: $\sqrt{14}$ .