63. Вариант 63

Вариант 63

Задание 1

Ответ: д) $a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^5$ .

Задание 2

Ответ: в) $\dfrac56$ .

Задание 3

Ответ: г).

$Контрпример: ромб с углами 60° и 120°$

Задание 4

Ответ: $$-0{,}09$$ .

Задание 5

Обозначим искомое число через $$x$$ . По условию задачи:

$37 процентов искомого числа равны 3,7$

0.37x = \dfrac{4.5}{9} + 3.2 \quad \Rightarrow \quad 0.37x = 0.5 + 3.2 \quad \Rightarrow

\Rightarrow \quad 0.37x = 3.7 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{3.7}{0.37} = 10

Ответ: $$10.$$

Задание 6

Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$ACO$$ . Так как $$OA = OB = OC$$ (радиусы окружности), они являются равнобедренными.

$Треугольник ABC на окружности: O внутри, угол ABO 40°, угол ACO 30°$

В треугольнике $$ABO$$ : $\angle ABO = 40^\circ$ , значит, $\angle OAB = 40^\circ$ . Тогда центральный угол:

$\angle AOB = 180^\circ - 2 \times 40^\circ = 100^\circ$ .

В треугольнике $$ACO$$ : $\angle ACO = 30^\circ$ , значит, $\angle OAC = 30^\circ$ . Тогда центральный угол:

$\angle AOC = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ$ .

Сумма углов вокруг точки $$O$$ равна $360^\circ$ . Угол $$BOC$$ дополняет углы $$AOB$$ и $$AOC$$ до полной окружности:

$\angle BOC = 360^\circ - \angle AOB - \angle AOC =$ .

$= 360^\circ - 100^\circ - 120^\circ = 140^\circ$ .

Ответ: $140^\circ$ .

Задание 7

Запишем формулу линейной функции: $$f(x)=kx+b$$ . Подставим координаты данных точек:

$График функции$

\begin{cases}-4=-2k+b,\\0=b.\end{cases}

Тогда $$b=0$$ , $$-4=-2k$$ , $$k=2$$ . Значит, $$f(x)=2x$$ .

f(-1)=2\cdot(-1)=-2;\quad f(3)=2\cdot3=6.

\[f(-1)+f(3)=-2+6=4.\]

Ответ: $f(x)=2x;\quad f(-1)+f(3)=4$ .

Задание 8

ОДЗ: $x\ne4$ . При этом $$(x-4)^2>0$$ , поэтому можно умножить неравенство на знаменатель:

$Числовая прямая: Точка 4 исключена по ОДЗ$

25\ge(x-4)^2;\quad(x-4)^2-25\le0.

Разложим разность квадратов на множители:

(x-4-5)(x-4+5)\le0;\quad(x-9)(x+1)\le0.

Произведение неположительно между корнями, включая их: $-1\le x\le9$ . Исключим $$x=4$$ по ОДЗ.

Ответ: $x\in[-1;4)\cup(4;9]$ .

Задание 9

Пусть скорость течения равна $$x$$ км/ч, где $$x>0$$ . Тогда скорость плота равна $$x$$ км/ч, а лодки по течению — $$x+12$$ км/ч.

$Плот и лодка проходят 15 км по течению до встречи; лодка выходит на 4 ч позже$

До встречи плот прошёл 15 км за $\dfrac{15}{x}$ ч, а лодка — за $\dfrac{15}{x+12}$ ч. Плот был в пути на 4 ч дольше, поэтому:

\dfrac{15}{x}-\dfrac{15}{x+12}=4.

Умножим на $$x(x+12)$$ :

\[15(x+12)-15x=4x(x+12);\]

180=4x^2+48x;\quad x^2+12x-45=0.

D=12^2+4\cdot45=324=18^2.

x_1=\dfrac{-12+18}{2}=3;\quad x_2=\dfrac{-12-18}{2}=-15.

Отрицательное значение не соответствует условию.

Ответ: 3 км/ч.

Задание 10

Дано: $$AB=BC=4$$ , медиана $$AM=3$$ . Найти $$AC$$ .

$Треугольник ABC и продолжение медианы AM до K, параллелограмм ABKC$

1) Продолжим медиану $$AM$$ за точку $$M$$ и отложим $$MK=AM=3$$ . Соединим $$K$$ с $$B$$ и $$C$$ .

Диагонали $$BC$$ и $$AK$$ четырёхугольника $$ABKC$$ делятся точкой $$M$$ пополам. Поэтому $$ABKC$$ — параллелограмм.

2) По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

\[2AB^2+2AC^2=AK^2+BC^2.\]

По построению $$AK=2AM=6$$ . Подставим данные:

2\cdot4^2+2AC^2=6^2+4^2;

32+2AC^2=36+16;\quad2AC^2=20;

$$AC^2=10.$$ Так как длина положительна, $AC=\sqrt{10}$ .

Ответ: $\sqrt{10}$ .