62. Вариант 62

Вариант 62

Задание 1

Ответ: в).

Задание 2

Ответ: г) $$3$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Контрпример: прямоугольник со сторонами 4 и 2 — параллелограмм с неравными соседними сторонами$

Задание 4

Ответ: $$-2$$ .

$Числовая прямая: x < −1; наибольшее целое — −2$

Задание 5

Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь:

\dfrac{9x^2-16y^2}{3x-4y}=\dfrac{(3x-4y)(3x+4y)}{3x-4y}=3x+4y,

где $3x\ne4y$ .

При $$x=1$$ , $y=\dfrac12$ : $3x+4y=3\cdot1+4\cdot\dfrac12=3+2=5.$

Ответ: $$5$$ .

Задание 6

Диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ на два угла: $BAC = 30^\circ$ и $DAC = 45^\circ$ . Следовательно, угол при вершине $$A$$ равен:

$Параллелограмм ABCD: AC, углы 30° и 45°, AD = 8 см$

\angle A = BAC + DAC = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ

В треугольнике $$ABC$$ известны стороны $$AB = x$$ , $$BC = AD = 8$$ см и углы: $\angle BAC = 30^\circ$ , $\angle ABC = 105^\circ$ , $\angle BCA = 45^\circ$ .

Применим теорему синусов:

\dfrac{AB}{\sin \angle BCA} = \dfrac{BC}{\sin \angle BAC} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x}{\sin 45^\circ} = \dfrac{8}{\sin 30^\circ} \quad \Rightarrow

$\Rightarrow \quad x = \dfrac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 8 \sqrt{2}$ см.

Ответ: $8 \sqrt{2}$ см.

Задание 7

Прямая проходит через точки $$(0;-4)$$ и $$(2;0)$$ . Формула линейной функции имеет вид $$y=kx+b$$ .

$График функции$

Подставим координаты обеих точек:

\begin{cases}-4=0k+b,\\0=2k+b.\end{cases}

Из первого уравнения $$b=-4$$ . Тогда $$2k-4=0$$ , откуда $$k=2$$ .

Ответ: $$y=2x-4$$ .

Задание 8

Пусть при новом времени изготовления комплекта бригада выпустит $$x$$ деталей за смену.

$Обратная пропорциональность: время на комплект уменьшается, выпуск за ту же смену растёт$

Время изготовления комплекта и число деталей за одну и ту же смену обратно пропорциональны. Составим пропорцию:

\dfrac14:\dfrac4{17}=x:480.

Тогда $\dfrac4{17}x=\dfrac14\cdot480=120$ ,

x=120\cdot\dfrac{17}{4}=510.

Ответ: 510 деталей.

Задание 9

Разложим знаменатели на множители:

$Числовая прямая: Из корней 1 и 3 подходит только 1$

\[x^2-9x+18=(x-3)(x-6),\]

\[x^2-5x-6=(x+1)(x-6).\]

ОДЗ: $x\ne-1;3;6$ . При этих условиях умножим обе части уравнения на $$(x+1)(x-3)(x-6)$$ :

\[3(x+1)+(x+1)(x-6)=2x(x-3).\]

\[3x+3+x^2-5x-6=2x^2-6x;\]

x^2-4x+3=0;\quad(x-1)(x-3)=0.

Получаем $$x=1$$ или $$x=3$$ . Число 3 не удовлетворяет ОДЗ, а 1 удовлетворяет.

Ответ: $$1$$ .

Задание 10

Дано: окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ вписаны в угол $$A$$ и касаются друг друга; $$O_1B=8$$ см, $$AO_1=40$$ см.

$Две касающиеся окружности в угле A; радиусы к точкам B и C и линия центров$

Пусть $$B$$ и $$C$$ — точки касания со стороной угла, а $$M$$ — точка касания окружностей.

Центры окружностей лежат на биссектрисе угла. Радиусы $$O_1B$$ и $$O_2C$$ перпендикулярны стороне угла. Поэтому $\triangle AO_1B\sim\triangle AO_2C$ по двум углам.

Из подобия:

\dfrac{O_2C}{AO_2}=\dfrac{O_1B}{AO_1}=\dfrac8{40}=\dfrac15.

Пусть искомый радиус $$O_2C=x$$ см. Тогда $$AO_2=5x$$ , $$O_1M=8$$ , $$MO_2=x$$ .

Так как $$AO_2=AO_1+O_1M+MO_2$$ , получаем:

5x=40+8+x;\quad4x=48;\quad x=12.

Ответ: 12 см.