61. Вариант 61

Вариант 61

Задание 1

Ответ: д) $$x^2-3x+2=0$$ .

Задание 2

Ответ: б) $$2$$ .

Задание 3

Ответ: г).

$Контрпример: углы параллелограмма 60° и 120°$

Задание 4

Ответ: $$2$$ .

$Числовая прямая: x > 1; наименьшее целое — 2$

Задание 5

$\dfrac{4x^2 - 9y^2}{2x - 3y} = \dfrac{(2x)^2 - (3y)^2}{2x - 3y} = \dfrac{(2x - 3y)(2x + 3y)}{2x - 3y} =$ .

$= 2x + 3y\quad$ при $\quad 2x - 3y \neq 0$ .

При $$x = 0.5$$ ; $y = \dfrac{2}{3}:$

$2x + 3y = 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot \dfrac{2}{3} = 1 + 2 = 3$ .

Ответ: $$3.$$

Задание 6

В параллелограмме $$ABCD$$ диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ на два угла: $\angle BAC = 45^\circ$ и $\angle DAC = 30^\circ$ .

$Параллелограмм ABCD: диагональ AC, углы 45° и 30°, AB = 6 см$

Тогда угол $A = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$ . Поскольку противолежащий угол равен $$A$$ , угол $$C$$ также равен $75^\circ$ , а углы $$B$$ и $$D$$ равны $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ .

Диагональ $$AC$$ разбивает параллелограмм на два треугольника. В $\triangle ABC$ углы равны: $\angle A = 45^\circ$ , $\angle B = 105^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$ . В $\triangle ADC$ углы равны: $\angle A = 30^\circ$ , $\angle D = 105^\circ$ и $\angle C = 45^\circ$ . Сторона $$AD$$ параллелограмма равна стороне $$BC$$ , которую и требуется найти, а сторона $$AB = 6$$ см.

Применим теорему синусов в треугольнике $$ABC$$ :

$\displaystyle \dfrac{AB}{\sin 30^\circ} = \dfrac{BC}{\sin 45^\circ} = \dfrac{AC}{\sin 105^\circ}$ .

Так как $$AB = 6$$ см и $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ , получаем: $6 : \dfrac{1}{2} = 12. \quad$

Отсюда сторона $$BC$$ равна:

$\displaystyle BC = 12 \sin 45^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

Задание 7

Прямая проходит через точки $$(0;6)$$ и $$(2;0)$$ . Запишем формулу линейной функции: $$y=kx+b$$ .

$График функции$

Подставим координаты обеих точек:

\begin{cases}6=0k+b,\\0=2k+b.\end{cases}

Из первого уравнения $$b=6$$ . Тогда $$2k+6=0$$ , откуда $$k=-3$$ .

Ответ: $$y=-3x+6$$ .

Задание 8

Пусть при новом времени изготовления одного комплекта бригада выпустит $$x$$ деталей за смену.

$Обратная пропорциональность: время на комплект уменьшается, выпуск за ту же смену растёт$

Время изготовления комплекта и число деталей за одну и ту же смену обратно пропорциональны. Составим пропорцию:

\dfrac25:\dfrac13=x:640.

Тогда $\dfrac13x=\dfrac25\cdot640=256$ ,

x=256\cdot3=768.

Ответ: 768 деталей.

Задание 9

Разложим знаменатели на множители:

$Числовая прямая: Из корней −1 и 2 подходит только −1$

\[x^2-7x+10=(x-2)(x-5),\]

\[x^2-6x+5=(x-1)(x-5).\]

ОДЗ: $x\ne1;2;5$ . При этих условиях умножим обе части уравнения на $$(x-1)(x-2)(x-5)$$ :

\[3(x-1)+(x-1)(x-5)=2x(x-2).\]

\[3x-3+x^2-6x+5=2x^2-4x;\]

x^2-x-2=0;\quad(x-2)(x+1)=0.

Получаем $$x=2$$ или $$x=-1$$ . Число 2 не удовлетворяет ОДЗ, а $$-1$$ удовлетворяет.

Ответ: $$-1$$ .

Задание 10

Дано: окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ вписаны в угол $$A$$ и касаются друг друга; $$O_1C=6$$ см, $$AO_1=30$$ см.

$Две касающиеся окружности в угле A; радиусы к точкам B и C и линия центров$

Пусть $$B$$ и $$C$$ — точки касания со стороной угла, а $$M$$ — точка касания окружностей.

Центры окружностей лежат на биссектрисе угла. Радиусы $$O_2B$$ и $$O_1C$$ перпендикулярны стороне угла. Поэтому $\triangle AO_2B\sim\triangle AO_1C$ по двум углам.

Из подобия:

\dfrac{O_2B}{AO_2}=\dfrac{O_1C}{AO_1}=\dfrac6{30}=\dfrac15.

Пусть искомый радиус $$O_2B=x$$ см. Тогда $$AO_2=5x$$ , $$O_2M=x$$ , $$MO_1=6$$ .

Так как $$AO_1=AO_2+O_2M+MO_1$$ , получаем:

5x+x+6=30;\quad6x=24;\quad x=4.

Ответ: 4 см.