58. Вариант 58

Вариант 58

Задание 1

Ответ: д).

$График постоянной функции y = 2$

Задание 2

Ответ: в) $$0.5a^7bc^2.$$

Задание 3

Ответ: г).

$Сумма четырёх прямых углов прямоугольника равна 360°$

Задание 4

Ответ: 9 коробок;
останется 10,50 р.

$Бюджет на девять коробок и остаток 10,50 рубля$

Задание 5

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии

$S=\dfrac{b_1}{1-q}$ .

По условию $$b_1=56$$ , $$S=72$$ , поэтому

$72=\dfrac{56}{1-q}\iff1-q=\dfrac{56}{72}=\dfrac79$ .

$q=1-\dfrac79=\dfrac29$ .

Ответ: $\dfrac29$ .

Задание 6

Сторона квадрата равна $$12:4=3$$ см. По теореме Пифагора диагональ:

$Квадрат ABCD с диагоналями и описанной окружностью$

$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2$ см.

Радиус равен половине диагонали:

$R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$ см.

Длина окружности:

$L=2\pi R=3\pi\sqrt2$ см.

Ответ: $3\pi\sqrt2$ см.

Задание 7

При $x\ne0$ составим неравенство:

$\dfrac{2x-4}{5x}+\dfrac{3-4x}{7x}\geq0$ .

Приведём дроби к общему знаменателю:

$\dfrac{7(2x-4)+5(3-4x)}{35x}=\dfrac{-6x-13}{35x}\geq0$ .

Нуль числителя: $x=-\dfrac{13}6$ ; знаменатель равен нулю при $$x=0$$ . Методом интервалов получаем $x\in\left[-\dfrac{13}6;0\right)$ .

Наименьшее целое число на этом промежутке равно $$-2$$ .

$Промежуток [−13/6; 0) и его наименьшее целое число −2$

Ответ: $$-2$$ .

Задание 8

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение:

$\dfrac{18}{5-\sqrt7}=\dfrac{18(5+\sqrt7)}{25-7}=5+\sqrt7$ ;

$\dfrac{44}{7-\sqrt5}=\dfrac{44(7+\sqrt5)}{49-5}=7+\sqrt5$ ;

$\dfrac2{\sqrt7+\sqrt5}=\dfrac{2(\sqrt7-\sqrt5)}{7-5}=\sqrt7-\sqrt5$ .

Подставим результаты. Выражение в скобках равно

$5+\sqrt7-7-\sqrt5-\sqrt7+\sqrt5=-2$ .

Его квадрат равен $$(-2)^2=4$$ .

Ответ: 4.

Задание 9

Проведём $CH\perp DM$ . Треугольники $$MCK$$ и $$DCK$$ имеют общую высоту $$CH$$ .

$Рисунок к заданию 9 варианта 58$

1) Их площади относятся как основания:

$\dfrac{MK}{KD}=\dfrac46=\dfrac23$ .

2) $\triangle MCK\sim\triangle DAK$ по двум углам: углы при $$K$$ вертикальные, а углы при $$C$$ и $$A$$ равны, так как $MC\parallel AD$ .

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:

$\dfrac{S_{MCK}}{S_{DAK}}=\left(\dfrac{MK}{DK}\right)^2=\dfrac49$ , поэтому $S_{DAK}=9$ см $$^2$$ .

3) $S_{ADC}=S_{DAK}+S_{DCK}=9+6=15$ см $$^2$$ .

Диагональ делит площадь пополам, поэтому

$S_{ABCD}=2S_{ADC}=30$ см $$^2$$ .

Ответ: 30 см $$^2$$ .

Задание 10

Введём $$s=x+y$$ , $$p=xy$$ . Тогда $$x^2+y^2=s^2-2p$$ , и система принимает вид:

\begin{cases}p-s=5,\\s^2-2p-s=18.\end{cases}

Подставим $$p=s+5$$ во второе уравнение:

$$s^2-2(s+5)-s=18$$ , $$s^2-3s-28=0$$ .

$$D=9+112=121$$ , $s=\dfrac{3\pm11}{2}$ .

Получаем $$(s,p)=(7,12)$$ или $$(-4,1)$$ .

Числа $$x,y$$ — корни уравнения $$t^2-st+p=0$$ .

1) $$t^2-7t+12=0$$ : корни 3 и 4.

2) $$t^2+4t+1=0$$ : корни $-2\pm\sqrt3$ .

$Решения системы — точки A, B, C, D$

Ответ: $$A(3;4)$$ , $$B(4;3)$$ , $C(-2+\sqrt3;-2-\sqrt3)$ , $D(-2-\sqrt3;-2+\sqrt3)$ .