57. Вариант 57

Вариант 57

Задание 1

Ответ: б)

$График постоянной функции y = 3$

Задание 2

Ответ: д) $0{,}25x^5yz$ .

Задание 3

Ответ: в)

$Сумма четырёх прямых углов прямоугольника равна 360°$

Задание 4

Ответ: 7 коробок;
останется 6,80 р.

$Бюджет на семь коробок и остаток 6,80 рубля$

Задание 5

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\dfrac{b_1}{1-q}$ .

Отсюда $$b_1=S(1-q)$$ . Подставим данные:

$b_1=\dfrac58\left(1-\left(-\dfrac13\right)\right)=\dfrac58\cdot\dfrac43=\dfrac56$ .

Ответ: $\dfrac56$ .

Задание 6

Пусть сторона квадрата $$AD=CD=a$$ . По теореме Пифагора:

$Квадрат ABCD с диагональю AC = 8 и вписанной окружностью$

$$a^2+a^2=8^2$$ , $$2a^2=64$$ , $a=4\sqrt2$ см.

Радиус равен половине стороны:

$r=\dfrac a2=2\sqrt2$ см.

Длина окружности:

$C=2\pi r=4\sqrt2\pi$ см.

Ответ: $4\sqrt2\pi$ см.

Задание 7

При $x\ne0$ составим неравенство:

$\dfrac{2x-5}{2x}+\dfrac{3-4x}{3x}\geq0$ .

Приведём дроби к общему знаменателю:

$\dfrac{3(2x-5)+2(3-4x)}{6x}=\dfrac{-2x-9}{6x}\geq0$ .

Нуль числителя: $x=-\dfrac92$ ; знаменатель равен нулю при $$x=0$$ . Методом интервалов получаем $x\in\left[-\dfrac92;0\right)$ .

Наименьшее целое число на этом промежутке равно $$-4$$ .

$Промежуток [−9/2; 0) и его наименьшее целое число −4$

Ответ: $$-4$$ .

Задание 8

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение:

$\dfrac9{4-\sqrt7}=\dfrac{9(4+\sqrt7)}{16-7}=4+\sqrt7$ ;

$\dfrac{33}{6-\sqrt3}=\dfrac{33(6+\sqrt3)}{36-3}=6+\sqrt3$ ;

$\dfrac4{\sqrt7+\sqrt3}=\dfrac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3}=\sqrt7-\sqrt3$ .

Подставим результаты. Выражение в скобках равно

$4+\sqrt7-6-\sqrt3-\sqrt7+\sqrt3=-2$ .

Его квадрат равен $$(-2)^2=4$$ .

Ответ: 4.

Задание 9

Проведём $CH\perp DM$ . Треугольники $$MCK$$ и $$DCK$$ имеют общую высоту $$CH$$ .

$Рисунок к заданию 9 варианта 57$

1) Их площади относятся как основания:

$\dfrac{MK}{KD}=\dfrac9{15}=\dfrac35$ .

2) $\triangle MCK\sim\triangle DAK$ по двум углам: углы при $$K$$ вертикальные, а углы при $$C$$ и $$A$$ равны, так как $MC\parallel AD$ .

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:

$\dfrac{S_{MCK}}{S_{DAK}}=\left(\dfrac{MK}{DK}\right)^2=\dfrac9{25}$ , поэтому $S_{DAK}=25$ см $$^2$$ .

3) $S_{ADC}=S_{DAK}+S_{DCK}=25+15=40$ см $$^2$$ .

Диагональ делит площадь пополам, поэтому

$S_{ABCD}=2S_{ADC}=80$ см $$^2$$ .

Ответ: 80 см $$^2$$ .

Задание 10

Введём $$s=x+y$$ , $$p=xy$$ . Тогда $$x^2+y^2=s^2-2p$$ , и система принимает вид:

\begin{cases}p-s=29,\\s^2-2p-s=72.\end{cases}

Подставим $$p=s+29$$ во второе уравнение:

$$s^2-2(s+29)-s=72$$ , $$s^2-3s-130=0$$ .

$$D=9+520=529$$ , $s=\dfrac{3\pm23}{2}$ .

Получаем $$(s,p)=(13,42)$$ или $$(-10,19)$$ .

Числа $$x,y$$ — корни уравнения $$t^2-st+p=0$$ .

1) $$t^2-13t+42=0$$ : корни 6 и 7.

2) $$t^2+10t+19=0$$ : корни $-5\pm\sqrt6$ .

$Решения системы — точки A, B, C, D$

Ответ: $$A(6;7)$$ , $$B(7;6)$$ , $C(-5+\sqrt6;-5-\sqrt6)$ , $D(-5-\sqrt6;-5+\sqrt6)$ .