55. Вариант 55

Вариант 55

Задание 1

Ответ: в).

Задание 2

Ответ: г) $$7^4$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Наклонная AB = 5 длиннее перпендикуляра AH = 3$

Задание 4

Ответ: 7500 книг.

$900 словарей составляют 12% всех книг$

Задание 5

График — гипербола $y=\dfrac2x$ , сдвинутая на 1 единицу вверх. Для построения отметим точки $$(-2;0)$$ , $$(-1;-1)$$ , $$(1;3)$$ , $$(2;2)$$ .

$Рисунок к заданию 5 варианта 55$

При $x\ne0$ дробь $\dfrac2x\ne0$ , поэтому $y\ne1$ .

Любое другое значение $$y$$ достигается при $x=\dfrac2{y-1}$ .

Множество значений: $(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ .

Ответ: 1.

Задание 6

Проведём высоты $$BH, AM, CK$$ правильного треугольника. Они являются и медианами, и биссектрисами; $$O$$ — центр описанной окружности.

$Правильный треугольник ABC, три высоты и описанная окружность$

$AH=\dfrac62=3$ см, $\angle OAH=30^\circ$ .

Из прямоугольного треугольника $$AHO$$ :

\cos30^\circ=\dfrac{AH}{AO},\qquad R=AO=\dfrac3{\sqrt3/2}=2\sqrt3\text{ см}.

Диаметр $d=2R=4\sqrt3$ см.

Ответ: $4\sqrt3$ см.

Задание 7

Первое неравенство даёт $$x<3$$ . Второе равносильно $3x^2-11x-14\le0$ .

Корни квадратного трёхчлена:

$$D=121+168=289$$ , $x=\dfrac{11\pm17}{6}$ .

Получаем $x_1=-1,\ x_2=\dfrac{14}{3}$ . Ветви параболы направлены вверх, поэтому второе неравенство выполняется при $x\in[-1;\dfrac{14}{3}]$ .

Пересечение с $$x<3$$ : $x\in[-1;3)$ .

$Пересечение [−1; 3) и натуральные решения 1 и 2$

Натуральные решения: 1 и 2. Их количество равно 2.

Ответ: 2.

Задание 8

Требуется $$4300:4{,}3=1000$$ кирпичей. Сравним стоимость с доставкой.

У поставщика Б заказ стоит $1000\cdot1{,}80=1800$ р. Сумма не превышает 1850 р., поэтому доставка платная.

У поставщика В заказ на $1000\cdot1{,}90=1900$ р. превышает 1600 р. Доставка со скидкой: $500\cdot0{,}5=250$ р.

$Сравнение стоимости 1000 кирпичей с доставкой$

Минимальная стоимость — у поставщика В.

Ответ: 2150 р.

Задание 9

ОДЗ: $x\ne-6,\ x\ne6$ . Разложим знаменатели на множители:

\dfrac6{(x-6)(x+6)}+\dfrac1{(x-6)^2}+\dfrac1{2(x+6)}=0.

Приведём к общему знаменателю:

\dfrac{12(x-6)+2(x+6)+(x-6)^2}{2(x-6)^2(x+6)}=0.

Числитель равен нулю:

$$12x-72+2x+12+x^2-12x+36=0$$ ,

$$x^2+2x-24=0$$ , $$D=4+96=100$$ .

$x=\dfrac{-2\pm10}{2}$ , откуда $$x=4$$ или $$x=-6$$ .

Корень $$-6$$ не входит в ОДЗ, остаётся $$x=4$$ .

$Исключённые значения −6 и 6; допустимый корень 4$

Ответ: $$x=4$$ .

Задание 10

Пусть $$AD=10$$ см, $$BC=5$$ см, $$AC=14$$ см, $$BD=13$$ см. Проведём $CK\parallel BD$ до пересечения с продолжением $$AD$$ .

$Рисунок к заданию 10 варианта 55$

1) $$BCKD$$ — параллелограмм. Поэтому $$DK=BC=5$$ см, $$CK=BD=13$$ см.

Тогда $$AK=AD+DK=15$$ см.

2) У $\triangle ACK$ стороны 13, 14 и 15 см. Его полупериметр:

$p=\dfrac{13+14+15}{2}=21$ см.

По формуле Герона:

$S_{ACK}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$ см $$^2$$ .

3) У треугольников $$ABC$$ и $$CDK$$ равны основания $$BC=DK$$ и высоты, поэтому их площади равны. Прибавляя площадь $$ACD$$ , получаем $S_{ABCD}=S_{ACK}=84$ см $$^2$$ .

Ответ: 84 см $$^2$$ .