54. Вариант 54

Вариант 54

Задание 1

Ответ: д) $$-8$$ .

$Число −8 не принадлежит отрезку [−3; 3]$

Задание 2

Ответ: б) 1.

Задание 3

Ответ: г).

$Вписанный угол 60° опирается на дугу 120°$

Задание 4

Ответ: 0; 7.

$Парабола пересекает ось x в точках 0 и 7$

Задание 5

\dfrac{3m^5 + 4m^3}{m^2} - \dfrac{15m^4}{5m} = 3m^3 + 4m - 3m^3 = 4m.

При $$m = -5$$ : $\quad 4 \cdot (-5) = -20$

Ответ: $$-20.$$

Задание 6

Проведём высоты $$BH$$ и $$CK$$ к основанию $$AD$$ . В равнобедренной трапеции

$Равнобедренная трапеция с диагональю AC и высотами BH, CK$

$AH=KD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{4-2}{2}=1$ см.

Тогда $$AK=AD-KD=4-1=3$$ см.

По теореме Пифагора в $\triangle ACK$ :

$CK=\sqrt{AC^2-AK^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ см.

$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CK=\dfrac{4+2}{2}\cdot4=12$ см $$^2$$ .

Ответ: 12 см $$^2$$ .

Задание 7

ОДЗ: $n\ne-3,\ n\ne4$ . Разложим знаменатель: $$n^2-n-12=(n-4)(n+3)$$ .

Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю:

\dfrac{(n-4)(n+3)+7+(n-4)}{(n-4)(n+3)}=0.

Числитель равен нулю: $$n^2-9=0$$ , откуда $$n=-3$$ или $$n=3$$ .

Корень $$-3$$ не входит в ОДЗ. Остаётся $$n=3$$ .

$Исключённые значения −3 и 4; допустимый корень 3$

Ответ: $$n=3$$ .

Задание 8

Сначала вычислим выражение в скобках. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение:

$\dfrac7{2-\sqrt{11}}=\dfrac{7(2+\sqrt{11})}{4-11}=-(2+\sqrt{11})$ ;

$\dfrac5{4+\sqrt{11}}=\dfrac{5(4-\sqrt{11})}{16-11}=4-\sqrt{11}$ .

Разность равна $-2-\sqrt{11}-4+\sqrt{11}=-6$ .

Возводим её в квадрат: $$(-6)^2=36$$ . Обратное полученному число равно $\dfrac1{36}$ .

Ответ: $\dfrac1{36}$ .

Задание 9

Пусть $$x>0$$ м $$^2$$ — плановая дневная норма. Составим таблицу.

$Площадь, дневная норма и срок работы по плану и с опережением$

Работа закончена на 6 дней раньше:

\dfrac{378}{x}-\dfrac{378}{x+4}=6.

Умножим обе части на $$x(x+4)$$ :

$$378(x+4)-378x=6x(x+4)$$ ,

$$x^2+4x-252=0$$ .

$$D=16+1008=1024$$ , $x=\dfrac{-4\pm32}{2}$ .

Получаем $$x=14$$ или $$x=-18$$ . Отрицательный корень не подходит.

По плану работа займёт $$378:14=27$$ дней. Так как $$27>21$$ , плиточник не успеет за 21 день.

Ответ: 14 м $$^2$$ в день; не успеет, потребуется 27 дней.

Задание 10

Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB,\ BC,\ AC$ через $P,\ D,\ N$ , а с $$MK$$ — через $$T$$ .

$Рисунок к заданию 10 варианта 54$

1) Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $$AP=AN$$ , $$BP=BD$$ , $$CN=CD$$ .

2) Пусть $$CN=CD=x$$ . Тогда $$AN=AP=12-x$$ , $$BD=BP=10-x$$ .

Так как $$AP+BP=AB$$ , имеем $$12-x+10-x=8$$ , откуда $$x=7$$ .

3) Также $$MD=MT$$ , $$KN=KT$$ . Поэтому

$$CM+MT=CM+MD=CD=7$$ ,

$$CK+KT=CK+KN=CN=7$$ .

4) $P_{CMK}=CM+MK+CK=CM+MT+TK+CK=7+7=14$ .

Ответ: 14.