53. Вариант 53

Вариант 53

Задание 1

Ответ: г) $$-3$$ .

$Число −3 не принадлежит отрезку [−2; 2]$

Задание 2

Ответ: д) 1.

Задание 3

Ответ: в).

$Две стороны, перпендикулярные AB, параллельны$

Задание 4

Ответ: 0; 9.

$Парабола пересекает ось x в точках 0 и 9$

Задание 5

\dfrac{18n^4 + 27n^3}{9n^2} - \dfrac{10n^3}{5n} = \dfrac{9n^3(2n + 3)}{9n^2} - 2n^2 =

\[ = n(2n + 3) - 2n^2 = 2n^2 + 3n - 2n^2 = 3n \]

Подставим $$n = -4$$ : $\quad 3 \cdot (-4) = -12$ .

Ответ: $$-12$$ .

Задание 6

Проведём высоты $$BH$$ и $$CK$$ к основанию $$AD$$ . В равнобедренной трапеции

$Равнобедренная трапеция с диагональю BD и высотами BH, CK$

$AH=KD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{10-6}{2}=2$ см.

Тогда $$HD=AD-AH=10-2=8$$ см.

По теореме Пифагора в $\triangle BHD$ :

$BH=\sqrt{BD^2-HD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$ см.

$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=\dfrac{10+6}{2}\cdot6=48$ см $$^2$$ .

Ответ: 48 см $$^2$$ .

Задание 7

ОДЗ: $m\ne-2,\ m\ne3$ . Разложим знаменатель: $$m^2-m-6=(m-3)(m+2)$$ .

Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю:

\dfrac{(m-3)(m+2)+5+(m-3)}{(m-3)(m+2)}=0.

Числитель равен нулю: $$m^2-4=0$$ , откуда $$m=-2$$ или $$m=2$$ .

Корень $$-2$$ не входит в ОДЗ. Остаётся $$m=2$$ .

$Исключённые значения −2 и 3; допустимый корень 2$

Ответ: $$m=2$$ .

Задание 8

Сначала вычислим выражение в скобках. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение:

$\dfrac9{2-\sqrt{13}}=\dfrac{9(2+\sqrt{13})}{4-13}=-(2+\sqrt{13})$ ;

$\dfrac{12}{5+\sqrt{13}}=\dfrac{12(5-\sqrt{13})}{25-13}=5-\sqrt{13}$ .

Разность равна $-2-\sqrt{13}-5+\sqrt{13}=-7$ .

Возводим её в квадрат: $$(-7)^2=49$$ . Обратное полученному число равно $\dfrac1{49}$ .

Ответ: $\dfrac1{49}$ .

Задание 9

Пусть $$x>0$$ м $$^2$$ — плановая дневная норма. Составим таблицу.

$Площадь, дневная норма и срок работы по плану и с опережением$

Работа закончена на 5 дней раньше:

\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x+5}=5.

Умножим обе части на $$x(x+5)$$ :

$$300(x+5)-300x=5x(x+5)$$ ,

$$x^2+5x-300=0$$ .

$$D=25+1200=1225$$ , $x=\dfrac{-5\pm35}{2}$ .

Получаем $$x=15$$ или $$x=-20$$ . Отрицательный корень не подходит.

При увеличенной норме $$15+5=20$$ м $$^2$$ в день работа займёт $$300:20=15$$ дней, то есть плиточник успеет.

Ответ: 15 м $$^2$$ в день; успеет за 15 дней.

Задание 10

Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB,\ BC,\ AC$ через $P,\ D,\ N$ , а с $$MK$$ — через $$T$$ .

$Рисунок к заданию 10 варианта 53$

1) Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $$AP=AN$$ , $$BP=BD$$ , $$CN=CD$$ .

2) Пусть $$AP=AN=x$$ . Тогда $$BP=BD=5-x$$ , $$CN=CD=8-x$$ .

Так как $$BD+CD=BC$$ , имеем $$5-x+8-x=7$$ , откуда $$x=3$$ .

3) Также $$MP=MT$$ , $$KN=KT$$ . Поэтому

$$AM+MT=AM+MP=AP=3$$ ,

$$AK+KT=AK+KN=AN=3$$ .

4) $P_{AMK}=AM+MK+AK=AM+MT+TK+AK=3+3=6$ .

Ответ: 6.