52. Вариант 52

Вариант 52

Задание 1

Ответ: б) $$-7$$ .

Задание 2

Ответ: в) $3^{13}$ .

Задание 3

Ответ: а).

$Треугольник с двумя медианами, которые не перпендикулярны$

Задание 4

Ответ: 18.

Задание 5

При $a\ge0$ , $a\ne9$ :

\dfrac{a - 9}{a - 6\sqrt{a} + 9} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - 3^2}{(\sqrt{a})^2 - 6\sqrt{a} + 9} = \dfrac{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}{(\sqrt{a} - 3)^2}

$= \dfrac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 3}$ .

Ответ: $\dfrac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 3}$ .

Задание 6

Стороны ромба равны: $$AD=AH+HD=5+8=13$$ см, значит, $$AB=13$$ см.

$Ромб ABCD с высотой BH, отрезками AH = 5 и HD = 8$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\text{ см}.

S_{ABCD}=AD\cdot BH=13\cdot12=156\text{ см}^2.

Ответ: $$156$$ см $$^2$$ .

Задание 7

В точках пересечения значения функций равны:

$Абсциссы −1 и 2/7; их среднее — −5/14$

$4x^2+x=2-4x-3x^2\iff7x^2+5x-2=0$ .

$D=5^2-4\cdot7\cdot(-2)=81>0$ , поэтому есть две точки пересечения.

По теореме Виета $x_1+x_2=-\dfrac57$ . Среднее арифметическое абсцисс:

$\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac57:2=-\dfrac5{14}$ .

Ответ: $-\dfrac5{14}$ .

Задание 8

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\dfrac{(2x-1)(x+2)}{(2-x)^2(3-x)(3+x)}\geq0$ , где $x\ne-3,\ 2,\ 3$ .

Множитель $$(2-x)^2$$ положителен на области определения и не меняет знак дроби. Нули числителя: $$-2$$ и $\dfrac12$ .

Методом интервалов получаем

$x\in(-3;-2]\cup\left[\dfrac12;2\right)\cup(2;3)$ .

Целые решения: $$-2$$ и 1. Их два.

$Решения (−3; −2], [1/2; 2), (2; 3); точка 2 исключена$

Ответ: 2.

Задание 9

Примем весь платёж за $100\%$ .

1) Повышение платы за коммунальные услуги на $50\%$ составляет $35\%$ всего платежа. Значит, доля коммунальных услуг:

\dfrac{35}{50}\cdot100\%=70\%.

2) Аналогично доля электричества:

\dfrac{10}{50}\cdot100\%=20\%.

3) На телефон приходится $100\%-70\%-20\%=10\%$ . На схеме К — коммунальные услуги, Э — электричество, Т — телефон.

$Доли платежа: коммунальные услуги 70%, электричество 20%, телефон 10%$

Ответ: $10\%$ .

Задание 10

Пусть основания равнобедренной трапеции $$AD=18$$ см, $$BC=8$$ см. Проведём высоту $$BH$$ .

$Рисунок к заданию 10 варианта 52$

1) В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $$AB+CD=AD+BC=26$$ см. Так как $$AB=CD$$ , каждая боковая сторона равна 13 см.

2) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание:

$AH=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{18-8}{2}=5$ см.

3) По теореме Пифагора в $\triangle ABH$ :

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{169-25}=12$ см.

4) $S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=\dfrac{18+8}{2}\cdot12=156$ см $$^2$$ .

Ответ: 156 см $$^2$$ .