51. Вариант 51

Вариант 51

Задание 1

Ответ: в) \(-6\).

Задание 2

Ответ: г) \(5^9\).

Задание 3

Ответ: б).

Ромб, диагонали которого имеют разную длину

Задание 4

Ответ: 35.

Задание 5

При \(b>0\):

\[\dfrac{b + 2\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + b} = \dfrac{(\sqrt{b})^2 + 2\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2} = \dfrac{(\sqrt{b} + 1)^2}{\sqrt{b} (1 + \sqrt{b})} = \]
\[ = \dfrac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b}}\]

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b}}\).

Задание 6

Стороны ромба равны: \(BC=BH+HC=8+12=20\) см, значит, \(DC=20\) см.

Ромб ABCD с высотой DH, отрезками BH = 8 и HC = 12

В прямоугольном треугольнике \(DHC\) по теореме Пифагора:

\[DH=\sqrt{DC^2-HC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\text{ см}.\]
\[S_{ABCD}=BC\cdot DH=20\cdot16=320\text{ см}^2.\]

Ответ: \(320\) см\(^2\).

Задание 7

Приравняем значения функций:

Абсциссы −1 и 9/5; их среднее — 2/5

\(12-x-2x^2=3x^2-5x+3\iff5x^2-4x-9=0\).

\(D=(-4)^2-4\cdot5\cdot(-9)=196>0\), поэтому графики пересекаются в двух точках.

По теореме Виета сумма их абсцисс \(x_1+x_2=\dfrac45\). Среднее арифметическое:

\(\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac45:2=\dfrac25=0{,}4\).

Ответ: \(0{,}4\).

Задание 8

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(\dfrac{(3x+1)(x+3)}{(3-x)^2(2-x)(2+x)}\geq0\), где \(x\ne-2,\ 2,\ 3\).

Множитель \((3-x)^2\) положителен на области определения и не меняет знак дроби. Нули числителя: \(-3\) и \(-\dfrac13\).

По методу интервалов получаем \(x\in[-3;-2)\cup\left[-\dfrac13;2\right)\).

Целые решения: \(-3\), 0, 1. Их три.

Решения [-3; −2) и [-1/3; 2); точка 3 исключена из области определения

Ответ: 3.

Задание 9

Примем весь платёж за \(100\%\).

1) Повышение платы за коммунальные услуги на \(50\%\) составляет \(25\%\) всего платежа. Значит, доля коммунальных услуг:

\[\dfrac{25}{50}\cdot100\%=50\%.\]

2) Аналогично доля электричества:

\[\dfrac{20}{50}\cdot100\%=40\%.\]

3) На телефон приходится \(100\%-50\%-40\%=10\%\). На схеме К — коммунальные услуги, Э — электричество, Т — телефон.

Доли платежа: коммунальные услуги 50%, электричество 40%, телефон 10%

Ответ: \(10\%\).

Задание 10

Пусть основания равнобедренной трапеции \(AD=16\) см, \(BC=4\) см. Проведём высоту \(BH\).

Рисунок к заданию 10 варианта 51

1) В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Поэтому \(AB+CD=AD+BC=20\) см. Так как \(AB=CD\), каждая боковая сторона равна 10 см.

2) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание:

\(AH=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{16-4}{2}=6\) см.

3) По теореме Пифагора в \(\triangle ABH\):

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{100-36}=8\) см.

4) \(S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=\dfrac{16+4}{2}\cdot8=80\) см\(^2\).

Ответ: 80 см\(^2\).