49. Вариант 49

Вариант 49

Задание 1

Ответ: в) \(\dfrac4y\).

Задание 2

Ответ: г) \((x-5)^2+y^2=7\).

Окружность с центром (5; 0) и радиусом √7

Задание 3

Ответ: б).

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении 3:5, а не пополам

Задание 4

Ответ: \(2\).

Задание 5

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[x^2-4x+4=(x-2)^2;\]
\[(x+5)^2-49=(x+5-7)(x+5+7)=(x-2)(x+12).\]

При \(x\ne2\), \(x\ne-12\) получаем:

\[\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+12)}=\dfrac{x-2}{x+12}.\]

Ответ: \(\dfrac{x-2}{x+12}\), где \(x\ne2;-12\).

Задание 6

Так как \(BC\parallel AD\), то \(\angle BKA=\angle KAD\) как накрест лежащие. \(AK\) — биссектриса, поэтому \(\angle BAK=\angle KAD=\angle BKA\).

Параллелограмм ABCD с биссектрисой AK и отрезками BK = 6, KC = 4

Следовательно, \(\triangle ABK\) равнобедренный и \(AB=BK=6\) см.

\[BC=BK+KC=6+4=10\text{ см};\]
\[P=2(AB+BC)=2(6+10)=32\text{ см}.\]

Ответ: \(32\) см.

Задание 7

Приравняем значения функций:

Две точки пересечения параболы и прямой y = −5

\[-5=-5x^2-x+1;\quad 5x^2+x-6=0.\]
\[D=1^2-4\cdot5\cdot(-6)=121;\]
\[x=\dfrac{-1\pm11}{10};\quad x_1=1;\quad x_2=-\dfrac65.\]

Для обоих корней \(y=-5\).

Ответ: \((1;-5)\) и \(\left(-\dfrac65;-5\right)\).

Задание 8

Ежедневные площади покраски образуют арифметическую прогрессию. По условию \(S_n=2100\) и \(a_1+a_n=350\). По формуле суммы:

Первый и последний дни дают 350 квадратных метров, вся работа — 2100

\[S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\]
\[2100=\dfrac{350}{2}\cdot n;\quad n=\dfrac{4200}{350}=12.\]

Ответ: \(12\) дней.

Задание 9

1) В неравенстве \(\dfrac{x+4}{x-5}\le0\) знаменатель не должен равняться нулю: \(x\ne5\). Критические точки — \(-4\) и \(5\). Дробь положительна вне промежутка между ними и отрицательна внутри; при \(x=-4\) она равна нулю. Поэтому \(x\in[-4;5)\).

2) Второе неравенство:

\[x^2+4x>-3;\quad(x+1)(x+3)>0.\]

Произведение положительно вне промежутка между корнями: \(x<-3\) или \(x>-1\).

3) Пересечение решений:

\[x\in[-4;-3)\cup(-1;5).\]

Целые решения: \(-4,0,1,2,3,4\). Их сумма:

\[-4+0+1+2+3+4=6.\]

Пересечение [-4; −3) и (−1; 5) и шесть целых решений

Ответ: \(6\).

Задание 10

Дано: \(\triangle ABC\); \(M\in AB\), \(K\in BC\), \(E\in AC\); \(MK\parallel AC\), \(KE\parallel AB\); \(S_{MBK}=9\) см⁠\(^2\), \(S_{EKC}=16\) см⁠\(^2\).

Найти: \(S_{AMKE}\).

Треугольник ABC, отрезки MK и KE образуют параллелограмм AMKE

Решение. 1) Из параллельности сторон следует \(\triangle BMK\sim\triangle KEC\) по двум углам. Поэтому:

\[\left(\dfrac{BK}{KC}\right)^2=\dfrac9{16};\quad\dfrac{BK}{KC}=\dfrac34.\]

2) Так как \(BC=BK+KC\), то \(\dfrac{BK}{BC}=\dfrac37\). Из \(MK\parallel AC\) следует \(\triangle BMK\sim\triangle BAC\), значит:

\[\dfrac{S_{BMK}}{S_{BAC}}=\left(\dfrac37\right)^2=\dfrac9{49};\]
\[S_{ABC}=9:\dfrac9{49}=49\text{ см}^2.\]

3) Вычтем площади двух треугольников:

\[S_{AMKE}=49-9-16=24\text{ см}^2.\]

Ответ: \(24\) см\(^2\).