48. Вариант 48

Вариант 48

Задание 1

Ответ: в) $\sqrt{72}=6\sqrt2$ .

Задание 2

Ответ: а) $$64$$ .

Задание 3

Ответ: в).

$Ромб с диагоналями разной длины$

Задание 4

Ответ: $$-2;2$$ .

$Графики равны при x = −2 и x = 2$

Задание 5

В прямоугольном треугольнике $$AKB$$ по теореме Пифагора:

$Прямоугольный треугольник ABC и высота AK$

AB=\sqrt{BK^2+AK^2}=\sqrt{18^2+24^2}=30\text{ см}.

Треугольники $$ABC$$ и $$KBA$$ подобны по двум углам: угол $$B$$ общий, углы $$A$$ и $$K$$ прямые. Поэтому $\angle C=\angle BAK$ , и:

\cos C=\cos\angle BAK=\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{24}{30}=\dfrac45.

Ответ: $\dfrac45$ .

Задание 6

ОДЗ: $n\ne-7;-3;0;3$ . Сначала выполним деление:

\dfrac n{9-n^2}:\dfrac n{n+7}=

=-\dfrac n{n^2-9}\cdot\dfrac{n+7}n=-\dfrac{n+7}{n^2-9}.

Тогда всё выражение равно:

\dfrac{5n+19}{n^2-9}-\dfrac{n+7}{n^2-9}=\dfrac{4n+12}{n^2-9}=

=\dfrac{4(n+3)}{(n-3)(n+3)}=\dfrac4{n-3}.

Ответ: $\dfrac4{n-3}$ , где $n\ne-7;-3;0;3$ .

Задание 7

По графику вершина параболы — точка $$(1;2)$$ , поэтому $$m=1$$ , $$n=2$$ . График проходит через $$(0;3)$$ , значит:

$Вершина и точка пересечения параболы с осью y$

3=a(0-1)^2+2;\quad a=1.

Раскроем скобки:

\[f(x)=(x-1)^2+2=x^2-2x+3.\]

Ответ: $$a=1$$ , $$m=1$$ , $$n=2$$ ; $$y=x^2-2x+3$$ .

Задание 8

Решим каждое неравенство:

1) $25-4x^2\le0$ , откуда $x^2\ge\dfrac{25}{4}$ . Следовательно, $x\le-\dfrac52$ или $x\ge\dfrac52$ .

2) $$x^2-8x<-7$$ , то есть $$(x-1)(x-7)<0$$ . Произведение отрицательно между корнями: $$1<x<7$$ .

Пересечение решений: $x\in\left[\dfrac52;7\right)$ . Целые решения — $$3,4,5,6$$ ; их сумма $$3+4+5+6=18$$ .

$Пересечение решений [5/2; 7), целые числа 3, 4, 5, 6$

Ответ: $$18$$ .

Задание 9

Ежедневные объёмы перевозки образуют арифметическую прогрессию: $$a_1=30$$ , $$n=11$$ , $S_{11}=880$ . Пусть $$d$$ — её разность. Тогда:

$Ежедневная перевозка растёт на d тонн; сумма за 11 дней равна 880$

S_{11}=\dfrac{2a_1+10d}{2}\cdot11;

880=11(30+5d);\quad30+5d=80;\quad d=10.

За шестой день перевезли:

a_6=a_1+5d=30+5\cdot10=80\text{ т}.

Ответ: $$80$$ т.

Задание 10

Дано: прямоугольник $$ABCD$$ , $M\in AB$ , $K\in CD$ , $MK\parallel AD$ , $P=AC\cap MK$ ; $S_{CPK}=9$ см $$^2$$ , $S_{AMP}=16$ см $$^2$$ .

Найти: $S_{ABCD}$ .

$Прямоугольник ABCD, отрезок MK и диагональ AC пересекаются в P$

Решение. 1) Треугольники $$CKP$$ и $$AMP$$ подобны по двум углам: углы при $$K$$ и $$M$$ прямые, а углы при $$P$$ вертикальные. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\left(\dfrac{CP}{AP}\right)^2=\dfrac9{16};\quad \dfrac{CP}{AP}=\dfrac34.

2) Так как $$AC=AP+CP$$ , то $\dfrac{CP}{AC}=\dfrac37$ . Из $KP\parallel AD$ следует $\triangle CKP\sim\triangle CDA$ , поэтому:

\dfrac{S_{CKP}}{S_{CDA}}=\left(\dfrac37\right)^2=\dfrac9{49};

S_{CDA}=9:\dfrac9{49}=49\text{ см}^2.

3) Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника:

S_{ABCD}=2S_{CDA}=2\cdot49=98\text{ см}^2.

Ответ: $$98$$ см $$^2$$ .