47. Вариант 47

Вариант 47

Задание 1

Ответ: б) $\sqrt{50}=5\sqrt2$ .

Задание 2

Ответ: г) $$36$$ .

Задание 3

Ответ: а).

$Прямоугольник, диагонали которого не перпендикулярны$

Задание 4

Ответ: $$-1;1$$ .

$Графики равны при x = −1 и x = 1$

Задание 5

В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ по теореме Пифагора:

$Прямоугольный треугольник ABC и высота BH$

HC=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\text{ см}.

Треугольники $$ABC$$ и $$BHC$$ подобны по двум углам: угол $$C$$ общий, углы $$B$$ и $$H$$ прямые. Поэтому $\angle A=\angle HBC$ , и:

\sin A=\sin\angle HBC=\dfrac{HC}{BC}=\dfrac{16}{20}=\dfrac45.

Ответ: $\dfrac45$ .

Задание 6

ОДЗ: $x\ne-2$ , $x\ne2$ , $x\ne0$ . Сначала выполним деление:

\dfrac{x}{4-x^2}:\dfrac{x}{x-2}=

=-\dfrac{x}{(x-2)(x+2)}\cdot\dfrac{x-2}{x}=-\dfrac1{x+2}.

Тогда всё выражение равно:

\dfrac{5x+6}{(x-2)(x+2)}-\dfrac1{x+2}=

=\dfrac{5x+6-x+2}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{4(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac4{x-2}.

Ответ: $\dfrac4{x-2}$ , где $x\ne-2;0;2$ .

Задание 7

По графику вершина параболы — точка $$(2;1)$$ , поэтому $$m=2$$ , $$n=1$$ . График проходит через $$(0;5)$$ , значит:

$Вершина и точка пересечения параболы с осью y$

5=a(0-2)^2+1;\quad4a=4;\quad a=1.

Раскроем скобки:

\[f(x)=(x-2)^2+1=x^2-4x+5.\]

Ответ: $$a=1$$ , $$m=2$$ , $$n=1$$ ; $$y=x^2-4x+5$$ .

Задание 8

Решим каждое неравенство:

1) $49-9x^2\le0$ , откуда $x^2\ge\dfrac{49}{9}$ . Следовательно, $x\le-\dfrac73$ или $x\ge\dfrac73$ .

2) $$x^2-7x<-6$$ , то есть $$(x-1)(x-6)<0$$ . Произведение отрицательно между корнями: $$1<x<6$$ .

Пересечение решений: $x\in\left[\dfrac73;6\right)$ . Целые решения — $$3,4,5$$ ; их сумма $$3+4+5=12$$ .

$Пересечение решений [7/3; 6), целые числа 3, 4, 5$

Ответ: $$12$$ .

Задание 9

Ежедневные объёмы перевозки образуют арифметическую прогрессию: $$a_1=40$$ , $$n=12$$ , $S_{12}=1008$ . Пусть $$d$$ — её разность. Тогда:

$Ежедневная перевозка растёт на d тонн; сумма за 12 дней равна 1008$

S_{12}=\dfrac{2a_1+11d}{2}\cdot12;

1008=6(80+11d);\quad80+11d=168;\quad d=8.

За девятый день перевезли:

a_9=a_1+8d=40+8\cdot8=104\text{ т}.

Ответ: $$104$$ т.

Задание 10

Дано: прямоугольник $$ABCD$$ , $M\in AB$ , $K\in CD$ , $MK\parallel AD$ , $P=BD\cap MK$ ; $S_{BMP}=4$ см $$^2$$ , $S_{PKD}=9$ см $$^2$$ .

Найти: $S_{ABCD}$ .

$Прямоугольник ABCD, отрезок MK и диагональ BD пересекаются в P$

Решение. 1) Треугольники $$BMP$$ и $$DKP$$ подобны по двум углам: углы при $$M$$ и $$K$$ прямые, а углы при $$P$$ вертикальные. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\left(\dfrac{BP}{PD}\right)^2=\dfrac49;\quad \dfrac{BP}{PD}=\dfrac23.

2) Так как $$BD=BP+PD$$ , то $\dfrac{BP}{BD}=\dfrac25$ . Из $MP\parallel AD$ следует $\triangle BMP\sim\triangle BAD$ , поэтому:

\dfrac{S_{BMP}}{S_{BAD}}=\left(\dfrac25\right)^2=\dfrac4{25};

S_{BAD}=4:\dfrac4{25}=25\text{ см}^2.

3) Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника:

S_{ABCD}=2S_{BAD}=2\cdot25=50\text{ см}^2.

Ответ: $$50$$ см $$^2$$ .