46. Вариант 46

Вариант 46

Задание 1

Ответ: д) $$7$$ .

$Натуральные числа интервала (−2/3; 7,1), наибольшее — 7$

Задание 2

Ответ: в) $$k=-10$$ .

$Гипербола y = −10 / x$

Задание 3

Ответ: г).

$Два равносторонних треугольника разного размера с равными углами$

Задание 4

Ответ: $-\dfrac52$ .

$Среднее корней −5 и 0 — середина отрезка$

Задание 5

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому $$OB=OC$$ , и $\triangle BOC$ равнобедренный.

$Прямоугольник с диагоналями и углом DBC 32 градуса$

Так как $$O$$ лежит на $$BD$$ , то $\angle OBC=\angle DBC=32^\circ$ . Следовательно, $\angle BCO=32^\circ$ , и:

\angle BOC=180^\circ-2\cdot32^\circ=116^\circ.

Углы $$AOD$$ и $$BOC$$ вертикальные, значит, $\angle AOD=116^\circ$ .

Ответ: $116^\circ$ .

Задание 6

Применим формулу разности квадратов:

A=(3\sqrt2-2)(3\sqrt2+2)-14\dfrac18=

=(3\sqrt2)^2-2^2-14\dfrac18=14-14\dfrac18=-\dfrac18.

56A=56\cdot\left(-\dfrac18\right)=-7.

Ответ: $$-7$$ .

Задание 7

Умножим обе части неравенства на $$12$$ :

\[6(m+1)-4(m-2)>3(m+3);\]

6m+6-4m+8>3m+9;\quad -m>-5;\quad m<5.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: $$1,2,3,4$$ .

$Натуральные решения m < 5: 1, 2, 3, 4$

Ответ: $$1;2;3;4$$ .

Задание 8

В первом уравнении $$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$$ . По второму уравнению $$x+2y=1$$ , поэтому $$-x-6y=1$$ . Получаем:

\begin{cases}-x-6y=1,\\x+2y=1.\end{cases}

$Пересечение прямых в точке (2; −1/2)$

Сложим уравнения: $$-4y=2$$ , откуда $y=-\dfrac12$ . Тогда $x=1-2\cdot\left(-\dfrac12\right)=2$ .

10(x-y)=10\left(2+\dfrac12\right)=25.

Ответ: $$25$$ .

Задание 9

Пусть $$P>0$$ — начальная цена, $$0<x<100$$ — процент повышения и последующего снижения.

После повышения цена $$P(1+x/100)$$ . Снижаем её на $x\%$ и приравниваем к $96\%$ начальной:

P\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=0{,}96P.

Сократим на $$P$$ и применим разность квадратов:

1-\dfrac{x^2}{10000}=0{,}96;\quad x^2=400.

Так как $$x>0$$ , то $$x=20$$ . Проверка:

$Сначала повышение на 20%, затем снижение на 20%$

Ответ: на $20\%$ .

Задание 10

Дано: вписанная трапеция $$ABCD$$ , $AD\parallel BC$ ; центр окружности $$O$$ лежит на $$AD$$ ; $BH\perp AD$ , $$BD=20$$ см, $$AH=9$$ см.

Найти: $S_{ABCD}$ .

$Вписанная трапеция ABCD, диаметр AD, диагональ BD, высоты BH и CK$

Решение. 1) $$AD$$ — диаметр, поэтому $\angle ABD=90^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ по свойству катета $BD^2=HD\cdot AD$ .

2) Пусть $$HD=x>0$$ см, тогда $$AD=x+9$$ см:

x(x+9)=400;\quad x^2+9x-400=0;

\[(x-16)(x+25)=0.\]

Положительный корень $$x=16$$ . Значит, $$HD=16$$ см, $$AD=25$$ см.

3) По свойству высоты прямоугольного треугольника:

BH=\sqrt{AH\cdot HD}=\sqrt{9\cdot16}=12\text{ см}.

4) Вписанная трапеция равнобедренная. Проведём $CK\perp AD$ . Тогда $$KD=AH=9$$ см. Четырёхугольник $$BCKH$$ — прямоугольник, поэтому:

BC=HK=HD-KD=16-9=7\text{ см}.

S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=\dfrac{25+7}{2}\cdot12=192\text{ см}^2.

Ответ: $$192$$ см $$^2$$ .