45. Вариант 45

Вариант 45

Задание 1

Ответ: в) $$1$$ .

$Натуральные числа внутри интервала; наименьшее — 1$

Задание 2

Ответ: г) $$k=-12$$ .

$Гипербола y = −12 / x$

Задание 3

Ответ: б).

$Два неравных треугольника с попарно равными двумя сторонами$

Задание 4

Ответ: $-\dfrac32$ .

$Середина между корнями −3 и 0$

Задание 5

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, $$OA=OB$$ , и $\triangle AOB$ равнобедренный.

$Прямоугольник, его диагонали и угол AOB 46 градусов$

\angle ABO=\dfrac{180^\circ-46^\circ}{2}=67^\circ.

Так как $$O$$ лежит на $$BD$$ и $\angle BAD=90^\circ$ , то:

\angle ADB=180^\circ-90^\circ-67^\circ=23^\circ.

Ответ: $23^\circ$ .

Задание 6

Применим формулу разности квадратов:

A=(2\sqrt2-1)(2\sqrt2+1)-8\dfrac17=

=(2\sqrt2)^2-1-\dfrac{57}7=7-\dfrac{57}7=-\dfrac87.

14A=14\cdot\left(-\dfrac87\right)=-16.

Ответ: $$-16$$ .

Задание 7

Умножим обе части неравенства на $$6$$ :

\[2(n+1)-(n+2)<3(n+3);\]

2n+2-n-2<3n+9;\quad -2n<9;\quad n>-4{,}5.

Целые отрицательные числа, удовлетворяющие этому условию: $$-4,-3,-2,-1$$ .

$Отрицательные целые решения неравенства$

Ответ: $$-4;-3;-2;-1$$ .

Задание 8

Во втором уравнении $$y^2+6xy+9x^2=(y+3x)^2$$ . По первому уравнению $$3x+y=2$$ , поэтому $$-y-x=4$$ . Получаем:

\begin{cases}3x+y=2,\\-x-y=4.\end{cases}

$Пересечение прямых в точке (3; −7)$

Сложим уравнения: $$2x=6$$ , откуда $$x=3$$ . Тогда $y=2-3\cdot3=-7$ .

6(x-y)=6\bigl(3-(-7)\bigr)=60.

Ответ: $$60$$ .

Задание 9

Пусть $$P>0$$ — начальная цена, $$0<x<100$$ — процент снижения и последующего повышения.

После снижения цена $$P(1-x/100)$$ . Повышаем её на $x\%$ и приравниваем к $91\%$ начальной:

P\left(1-\dfrac{x}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=0{,}91P.

Сократим на $$P$$ и применим разность квадратов:

1-\dfrac{x^2}{10000}=0{,}91;\quad x^2=900.

Так как $$x>0$$ , то $$x=30$$ . Проверка:

$Последовательное снижение и повышение на 30 процентов$

Ответ: на $30\%$ .

Задание 10

Дано: вписанная трапеция $$ABCD$$ , $AD\parallel BC$ ; центр окружности $$O$$ лежит на $$AD$$ ; $CH\perp AD$ , $$AC=10$$ см, $$HD=4{,}5$$ см.

Найти: $S_{ABCD}$ .

$Вписанная трапеция ABCD, диаметр AD, диагональ AC, высоты BK и CH$

Решение. 1) $$AD$$ — диаметр, поэтому $\angle ACD=90^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$ACD$$ по свойству катета $AC^2=AH\cdot AD$ .

2) Пусть $$AH=x>0$$ см, тогда $$AD=x+4{,}5$$ см:

x(x+4{,}5)=100;\quad x^2+4{,}5x-100=0;

\[(x-8)(x+12{,}5)=0.\]

Положительный корень $$x=8$$ . Значит, $$AH=8$$ см, $$AD=12{,}5$$ см.

3) По свойству высоты прямоугольного треугольника:

CH=\sqrt{AH\cdot HD}=\sqrt{8\cdot4{,}5}=6\text{ см}.

4) Вписанная трапеция равнобедренная. Проведём $BK\perp AD$ . Тогда $$AK=HD=4{,}5$$ см. Четырёхугольник $$BCHK$$ — прямоугольник, поэтому:

BC=KH=AH-AK=8-4{,}5=3{,}5\text{ см}.

5) Площадь трапеции:

S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CH=\dfrac{12{,}5+3{,}5}{2}\cdot6=48\text{ см}^2.

Ответ: $$48$$ см $$^2$$ .