44. Вариант 44

Вариант 44

Задание 1

Ответ: д) $$y=(x-4)^2+2$$ .

$Парабола с вершиной (4; 2)$

Задание 2

Ответ: б) $\dfrac{n-5}n$ .

Задание 3

Ответ: в).

$Четырёхугольник с двумя прямыми углами, который не является прямоугольником$

Задание 4

Ответ: $$4$$ .

$Четыре целых числа строго между −10 и −5$

Задание 5

Дан равнобедренный треугольник с основанием $$10$$ см и равными сторонами по $$13$$ см.

$Треугольник 13, 13, 10 с высотой 12 и половинами основания по 5$

Пусть высота опущена на основание $$10$$ см, деля его на два отрезка по $$5$$ см.

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $$h$$ :

$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см $$^2$$ .

Ответ: $$60$$ см $$^2$$ .

Задание 6

Упростим радикалы: $\sqrt{25}=5$ , $\sqrt{96}=4\sqrt6$ . Тогда:

(5+\sqrt6)(\sqrt{25}-\sqrt{96}+3\sqrt6)=

=(5+\sqrt6)(5-4\sqrt6+3\sqrt6)=

=(5+\sqrt6)(5-\sqrt6)=25-6=19.

Ответ: $$19$$ .

Задание 7

Функция $y=\dfrac5{x^2-9}+\sqrt{24-8x}$ определена, если знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение неотрицательно:

x^2-9\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne-3,\quad x\ne3;

24-8x\ge0\quad\Rightarrow\quad x\le3.

Учитывая все ограничения, получаем $$x<3$$ , $x\ne-3$ .

$Область определения x < 3, кроме −3$

Ответ: $(-\infty;-3)\cup(-3;3)$ .

Задание 8

ОДЗ: $x\ne\dfrac12$ . Так как $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$ , пусть $t=\dfrac{x}{2x-1}$ . Тогда:

t^2-4t+3=0;\quad(t-1)(t-3)=0.

При $$t=1$$ : $\dfrac{x}{2x-1}=1$ ; $$x=2x-1$$ ; $$x=1$$ .

При $$t=3$$ : $\dfrac{x}{2x-1}=3$ ; $$x=6x-3$$ ; $x=\dfrac35$ .

Оба корня допустимы; наименьший — $x_0=\dfrac35$ .

$Сравнение корней: 3/5 меньше 1$

75x_0=75\cdot\dfrac35=45.

Ответ: $$45$$ .

Задание 9

Дано: равнобедренная трапеция $$ABCD$$ , $AD\parallel BC$ ; $$O$$ — центр вписанной окружности, $$K$$ — точка касания стороны $$CD$$ ; $$CK=2$$ см, $$KD=8$$ см.

Найти: $S_{ABCD}$ .

$Равнобедренная трапеция ABCD, вписанная окружность, биссектрисы CO и DO и радиус OK$

Решение. 1) Проведём биссектрисы $$OC$$ , $$OD$$ и радиус $$OK$$ . Углы $$C$$ и $$D$$ в сумме дают $180^\circ$ , их половины — $90^\circ$ . Поэтому $\angle COD=90^\circ$ .

2) $OK\perp CD$ , поэтому по свойству высоты прямоугольного треугольника:

OK^2=CK\cdot KD=2\cdot8=16;\quad r=OK=4\text{ см}.

3) Боковые стороны равны: $$AB=CD=2+8=10$$ см. По свойству описанного четырёхугольника:

AD+BC=AB+CD=20\text{ см}.

4) Высота трапеции равна диаметру окружности: $$h=2r=8$$ см. Тогда:

S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{20}{2}\cdot8=80\text{ см}^2.

Ответ: $$80$$ см $$^2$$ .

Задание 10

Обычный темп — $$x>0$$ м $$^2$$ /день, на заказе — $$x+3$$ .

$Таблица работы, темпа и времени$

Работа закончена на $$2$$ дня раньше:

\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{x+3}=2.

Умножим на $$x(x+3)$$ :

\[180(x+3)-180x=2x(x+3);\]

540=2x^2+6x;\quad x^2+3x-270=0.

D=9+1080=1089=33^2;\quad x=\dfrac{-3\pm33}{2}.

Корни: $$15$$ и $$-18$$ . Отрицательный не подходит; темп на заказе $$15+3=18$$ м $$^2$$ в день.

Проверка: $$180:15-180:18=12-10=2$$ дня.

Ответ: $$18$$ м $$^2$$ в день.