43. Вариант 43

Вариант 43

Задание 1

Ответ: г) $$y=(x-2)^2+2$$ .

$Парабола с вершиной (2; 2)$

Задание 2

Ответ: а) $\dfrac{2b-1}b$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Прямой угол равен 90 градусам$

Задание 4

Ответ: $$4$$ .

$Четыре целых числа строго между −15 и −10$

Задание 5

Треугольник равнобедренный: боковые стороны — $$5$$ см,
основание — $$6$$ см.

$Равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5, 6 и высотой 4$

Высота, проведённая к основанию, является медианой и делит основание на отрезки по $$3$$ см. По теореме Пифагора:

h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{ см}.

S=\dfrac12\cdot6\cdot4=12\text{ см}^2.

Ответ: $$12$$ см $$^2$$ .

Задание 6

Упростим радикалы:

\sqrt{64}=8;\quad\sqrt{112}=4\sqrt7.

Тогда выражение равно:

(8+\sqrt7)(8+4\sqrt7-5\sqrt7)=

=(8+\sqrt7)(8-\sqrt7)=8^2-(\sqrt7)^2=64-7=57.

Ответ: $$57$$ .

Задание 7

$y = \sqrt{12 - 6x} - \dfrac{3}{x^2 - 4}$ .

Область определения функции определяется условиями существования подкоренного выражения и ненулевого знаменателя:

12 - 6x \ge 0 \quad и \quad x^2 - 4 \neq 0

12 - 6x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le 2

x^2 - 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm 2

$$x < 2$$ и $x \neq -2$ , то есть $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2)$

$Область определения: x < 2, кроме −2$

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2)$

Задание 8

ОДЗ: $x\ne-\dfrac12$ . Так как $$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$$ , пусть $t=\dfrac{x}{2x+1}$ . Тогда:

t^2-6t+5=0;\quad(t-1)(t-5)=0.

При $$t=1$$ : $\dfrac{x}{2x+1}=1$ ; $$x=2x+1$$ ; $$x=-1$$ .

При $$t=5$$ : $\dfrac{x}{2x+1}=5$ ; $$x=10x+5$$ ; $x=-\dfrac59$ .

Оба корня допустимы, наибольший — $x_0=-\dfrac59$ .

$Сравнение двух корней$

81x_0=81\cdot\left(-\dfrac59\right)=-45.

Ответ: $$-45$$ .

Задание 9

Дано: равнобедренная трапеция $$ABCD$$ , $AD\parallel BC$ ; $$O$$ — центр вписанной окружности, $$K$$ — точка касания стороны $$CD$$ ; $$CK=4$$ см, $$KD=9$$ см.

Найти: $S_{ABCD}$ .

$Равнобедренная трапеция ABCD, вписанная окружность, биссектрисы CO и DO и радиус OK$

Решение. 1) Проведём биссектрисы $$OC$$ , $$OD$$ и радиус $$OK$$ . Углы $$C$$ и $$D$$ в сумме дают $180^\circ$ , их половины — $90^\circ$ . Поэтому $\angle COD=90^\circ$ .

2) $OK\perp CD$ , поэтому по свойству высоты прямоугольного треугольника:

OK^2=CK\cdot KD=4\cdot9=36;\quad r=OK=6\text{ см}.

3) Боковые стороны равны: $$AB=CD=4+9=13$$ см. По свойству описанного четырёхугольника:

AD+BC=AB+CD=26\text{ см}.

4) Высота трапеции равна диаметру окружности: $$h=2r=12$$ см. Тогда:

S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{26}{2}\cdot12=156\text{ см}^2.

Ответ: $$156$$ см $$^2$$ .

Задание 10

Обычный темп — $$x>0$$ м $$^2$$ /день, на заказе — $$x+4$$ .

$Таблица работы, темпа и времени$

На 2 дня раньше: $\dfrac{240}{x}-\dfrac{240}{x+4}=2$ .

Умножим на $$x(x+4)$$ :

\[240(x+4)-240x=2x(x+4);\]

960=2x^2+8x;\quad x^2+4x-480=0.

D=16+1920=1936=44^2;\quad x=\dfrac{-4\pm44}{2}.

Корни: $$20$$ и $$-24$$ . Отрицательный не подходит; темп на заказе $$20+4=24$$ м $$^2$$ в день.

Проверка: $$240:20-240:24=12-10=2$$ дня.

Ответ: $$24$$ м $$^2$$ в день.