42. Вариант 42

Вариант 42

Задание 1

Ответ: д) \(9\%=0.09\).

Задание 2

Ответ: в) \(-2m^9n\).

Задание 3

Ответ: г).

Наименьшая сторона AC лежит напротив угла B

Задание 4

Ответ: \(-100\).

График y = −100x + 5 через точку K

Задание 5

Составим неравенство:

\[\dfrac{2b-5}{4}-\dfrac{2b-3}{6}\le0;\]
\[\dfrac{3(2b-5)-2(2b-3)}{12}\le0;\]
\[\dfrac{6b-15-4b+6}{12}\le0;\quad 2b-9\le0.\]

Отсюда \(2b\le9\), \(b\le\dfrac92\).

Ответ: \(b\in\left(-\infty;\dfrac92\right]\).

Решение b ≤ 9/2

Задание 6

Поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам, площадь параллелограмма равна четырем площадям таких треугольников:

Параллелограмм с диагоналями и высотой CH к продолжению AB

\(S = 4 \cdot 12 = 48\) см\(^2\).

\(S = CD \cdot h \quad \Rightarrow \quad CD = \dfrac{S}{h} \quad \Rightarrow \quad CD = \dfrac{48}{8} = 6\) см.

Ответ: \(6\) см.

Задание 7

Преобразуем дроби по отдельности:

\[\dfrac7{3-\sqrt2}=\dfrac{7(3+\sqrt2)}{9-2}=3+\sqrt2;\]
\[\dfrac{3-4\sqrt3}{4-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3(\sqrt3-4)}{-(\sqrt3-4)}=-\sqrt3.\]

Тогда значение выражения равно:

\[(3+\sqrt2)^2-(-\sqrt3)^2=9+6\sqrt2+2-3=8+6\sqrt2.\]

Противоположное число: \(-8-6\sqrt2\).

Ответ: \(-8-6\sqrt2\).

Задание 8

Пусть \(x\) — число кустов в ряду, тогда \(x-7\) — число рядов.

Схема рядов пионов

\[x(x-7)=60;\quad x^2-7x-60=0.\]
\[D=49+240=289;\quad x=\dfrac{7\pm17}{2}.\]

Корень \(x=-5\) не подходит. При \(x=12\) рядов \(12-7=5\); \(12\cdot5=60\).

Ответ: да, \(5\) рядов по \(12\) кустов.

Задание 9

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C=90^\circ\), \(AB=c=13\) см; вписанная окружность радиуса \(r=2\) см.

Найти: площадь и больший катет.

Прямоугольный треугольник ABC с вписанной окружностью и радиусом OF

Решение. 1) Для прямоугольного треугольника \(r=p-c\), где \(p\) — полупериметр. Поэтому \(p=c+r=13+2=15\) см.

2) \(S=pr=15\cdot2=30\) см\(^2\).

3) Пусть катеты равны \(a\) и \(b\). Тогда \(a+b=2p-c=30-13=17\), \(ab=2S=60\).

Подставим \(b=17-a\):

\[a(17-a)=60;\quad a^2-17a+60=0.\]
\[(a-5)(a-12)=0;\quad a=5\text{ или }a=12.\]

Катеты равны \(5\) см и \(12\) см; больший из них равен \(12\) см.

Ответ: \(30\) см\(^2\); \(12\) см.

Задание 10

Сгруппируем множители:

\[x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x)(x^2+3x+2).\]

Пусть \(t=x^2+3x\). Тогда:

\[t(t+2)=24;\quad t^2+2t-24=0;\]
\[(t-4)(t+6)=0;\quad t=4\text{ или }t=-6.\]

1) Если \(t=4\), то \(x^2+3x-4=0\).

\[D=9+16=25;\quad x=\dfrac{-3\pm5}{2}.\]

Получаем корни \(x_1=1\), \(x_2=-4\).

2) Если \(t=-6\), то \(x^2+3x+6=0\).

\(D=9-24=-15<0\), действительных корней нет.

Из корней \(1\) и \(-4\) только \(1\) лежит в интервале \((-4;4)\), то есть удовлетворяет \(|x|<4\).

Ответ: \(1\).

Корень 1 внутри интервала (−4; 4), −4 исключён