41. Вариант 41

Вариант 41

Задание 1

Ответ: г) \(7\%=0.07\).

Задание 2

Ответ: б) \(-3a^7b\).

Задание 3

Ответ: в).

Наибольшая сторона BC лежит напротив угла A

Задание 4

Ответ: \(-16\).

График y = −16x − 4 через точку K

Задание 5

Составим неравенство:

\[\dfrac{4a-11}{5}-\dfrac{4a-13}{7}\ge0;\]
\[\dfrac{7(4a-11)-5(4a-13)}{35}\ge0;\]
\[\dfrac{28a-77-20a+65}{35}\ge0;\quad 8a-12\ge0.\]

Отсюда \(8a\ge12\), \(a\ge\dfrac32\).

Ответ: \(a\in\left[\dfrac32;+\infty\right)\).

Решение неравенства a ≥ 3/2

Задание 6

В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому площадь всего параллелограмма равна:

Диагонали параллелограмма и высота CH = 6 см

\(S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AOB} = 4 \cdot 15 = 60 \, \text{см}^2\).

\(S_{ABCD} = AD \cdot h \quad \Rightarrow \quad AD = \dfrac{S_{ABCD}}{h} = \dfrac{60}{6} = 10 \, \text{см}\).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому:

\(BC = AD = 10 \, \text{см}\).

Ответ: \(BC = 10 \, \text{см}\).

Задание 7

Преобразуем дроби по отдельности:

\[\dfrac4{3-\sqrt5}=\dfrac{4(3+\sqrt5)}{9-5}=3+\sqrt5;\]
\[\dfrac{6-5\sqrt6}{5-\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6(\sqrt6-5)}{-(\sqrt6-5)}=-\sqrt6.\]

Тогда значение выражения равно:

\[(3+\sqrt5)^2-(-\sqrt6)^2=9+6\sqrt5+5-6=8+6\sqrt5.\]

Противоположное число: \(-8-6\sqrt5\).

Ответ: \(-8-6\sqrt5\).

Задание 8

Пусть \(x\) — число кустов в ряду, тогда \(x+8\) — число рядов.

Схема рядов роз

\[x(x+8)=128;\quad x^2+8x-128=0.\]
\[D=8^2+4\cdot128=576;\quad x=\dfrac{-8\pm24}{2}.\]

\(x=-16\) не подходит: число кустов положительно. При \(x=8\) рядов \(8+8=16\).

Проверка: \(8\cdot16=128\).

Ответ: да, \(16\) рядов по \(8\) кустов.

Задание 9

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C=90^\circ\), \(AB=c=10\) см; вписанная окружность радиуса \(r=2\) см.

Найти: площадь и меньший катет.

Прямоугольный треугольник ABC с вписанной окружностью и радиусом OF

Решение. 1) Для прямоугольного треугольника \(r=p-c\), где \(p\) — полупериметр. Поэтому \(p=c+r=10+2=12\) см.

2) \(S=pr=12\cdot2=24\) см\(^2\).

3) Пусть катеты равны \(a\) и \(b\). Тогда \(a+b=2p-c=24-10=14\), \(ab=2S=48\).

Подставим \(b=14-a\):

\[a(14-a)=48;\quad a^2-14a+48=0.\]
\[(a-6)(a-8)=0;\quad a=6\text{ или }a=8.\]

Катеты равны \(6\) см и \(8\) см; меньший из них равен \(6\) см.

Ответ: \(24\) см\(^2\); \(6\) см.

Задание 10

Сгруппируем множители:

\[x(x-4)(x-1)(x-3)=40;\]
\[(x^2-4x)(x^2-4x+3)=40.\]

Пусть \(t=x^2-4x\). Тогда \(t(t+3)=40\),

\[t^2+3t-40=0;\quad(t-5)(t+8)=0.\]

Отсюда \(t=5\) или \(t=-8\).

При \(t=5\): \(x^2-4x-5=0\),

\[x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+20}}2=\dfrac{4\pm6}2=-1\text{ или }5.\]

При \(t=-8\): \(x^2-4x+8=0\); \(D=16-32=-16<0\), корней нет.

Из \(-1\) и \(5\) только \(-1\) лежит в интервале \((-5;5)\), то есть удовлетворяет \(|x|<5\).

Отбор корней по условию модуля

Ответ: \(-1\).