40. Вариант 40

Вариант 40

Задание 1

Ответ: г) $$(2{,}2;2{,}3)$$ .

$Рисунок к заданию 1 варианта 40$

Задание 2

Ответ: а) $$-0{,}1$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Рисунок к заданию 3 варианта 40$

Задание 4

Ответ: $$m+1$$ , $m\ne0;\ 1$ .

Задание 5

Введём $$y=x^2$$ . Получим $$y^2-8y-9=0$$ .

$$D=64+36=100$$ , поэтому

y_1=\dfrac{8+10}{2}=9,\quad y_2=\dfrac{8-10}{2}=-1.

Так как $x^2\ge0$ , остаётся $$x^2=9$$ , откуда $x=\pm3$ . Больший корень равен 3.

Ответ: $$3$$ .

Задание 6

В $\triangle ABC$ биссектриса $$CM$$ совпадает с медианой, так как $$AM=MB=8$$ см. Значит, треугольник равнобедренный и $CM\perp AB$ .

$Рисунок к заданию 6 варианта 40$

В прямоугольном $\triangle BMC$ по теореме Пифагора:

$CM=\sqrt{BC^2-MB^2}=\sqrt{100-64}=6$ см.

\sin B=\dfrac{CM}{BC}=\dfrac6{10}=0{,}6.

Ответ: $$0{,}6$$ .

Задание 7

Разложим $$-x^2+3x+4=-(x-4)(x+1)$$ . Получим

\dfrac{-(x+3)(x-4)(x+1)}{x+2}\ge0,\qquad x\ne-2.

Нули числителя: $-3,\ -1,\ 4$ . Отметим знаки:

$Рисунок к заданию 7 варианта 40$

Решение: $[-3;-2)\cup[-1;4]$ . Целые решения: $$-3,-1,0,1,2,3,4$$ ; их семь.

Ответ: $$7$$ .

Задание 8

Подставим координаты $$A(-2;1)$$ и $$B(-1;-3)$$
в формулу $$y=kx+b$$ :

\begin{cases}-2k+b=1,\\-k+b=-3.\end{cases}

Вычтем первое уравнение из второго: $$k=-4$$ . Из $$4+b=-3$$ найдём $$b=-7$$ .

$Рисунок к заданию 8 варианта 40$

Функция неотрицательна при

-4x-7\ge0;\quad -4x\ge7;\quad x\le-\frac74.

Ответ: $$y=-4x-7$$ ; $x\in(-\infty;-\frac74]$ .

Задание 9

Продолжим медиану $$BM$$ до $$D$$ , взяв $$MD=BM=6{,}5$$ см.

$Рисунок к заданию 9 варианта 40$

Так как $$AM=MC$$ и $$BM=MD$$ , то $$ABCD$$ — параллелограмм; $$BD=13$$ см.

По свойству его диагоналей:

\[AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2;\]

AC^2=2\cdot5^2+2\cdot12^2-13^2=169.

Получили $$AC=13$$ см и $BM=\frac12AC$ . Значит, $\triangle ABC$ прямоугольный с гипотенузой $$AC$$ .

$S_{ABC}=\frac12AB\cdot BC=\frac12\cdot5\cdot12=30$ см $$^2$$ .

Ответ: $$30$$ см $$^2$$ .

Задание 10

Весь путь занял 125 мин. На 9 км против течения требуется на 15 мин больше, поэтому на 15 км разница равна $15\cdot\frac{15}{9}=25$ мин.

$Рисунок к заданию 10 варианта 40$

Пусть по течению лодка шла $$t$$ мин. Тогда $$t+(t+25)=125$$ , откуда $$t=50$$ мин. Обратно — 75 мин.

По течению: $15:\frac56=18$ км/ч; против течения: $15:\frac54=12$ км/ч.

Собственная скорость равна полусумме: $v=\frac{18+12}{2}=15$ км/ч.

Ответ: $$15$$ км/ч.