35. Вариант 35

Вариант 35

Задание 1

Ответ: д) \(2\).

Задание 2

Ответ: в) \(-0{,}4\).

Задание 3

Ответ: г).

Задание 4

Ответ: \(20\) кг.

Задание 5

Разложим числа на простые множители: \(14=2\cdot7\), \(42=2\cdot3\cdot7\), \(70=2\cdot5\cdot7\).

Для НОК берём все простые множители в наибольших степенях:
\(\operatorname{НОК}(14;42;70)=2\cdot3\cdot5\cdot7=210\).

Ответ: \(\dfrac1{210}\).

Задание 6

По свойству параллелограмма \(AB=CD=10\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABK\): \(\angle ABK=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы:

\(AK=\dfrac{AB}{2}=5\) см.

Тогда \(AD=AK+KD=5+7=12\) см, а периметр равен \(P=2(AB+AD)=2(10+12)=44\) см.

Ответ: \(44\) см.

Задание 7

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля:

\(24-8x\geq0\), то есть \(x\leq3\);
\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\ne0\),
поэтому \(x\ne3\) и \(x\ne-2\).

Ответ: \((-\infty;-2)\cup(-2;3)\).

Задание 8

Числа с остатком 1 при делении на 6 имеют вид \(6k+1\). На промежутке \((12;121]\) это \(13,19,25,\ldots,121\) — арифметическая прогрессия с разностью 6.

Число членов: \(n=\dfrac{121-13}{6}+1=19\).

Их сумма: \(S=\dfrac{13+121}{2}\cdot19=1273\).

Ответ: \(1273\).

Задание 9

Во втором уравнении выделим квадрат суммы:

\(x^2+2xy+2y^2=(x+y)^2+y^2\).

Так как \(x+y=4\), получим \(16+y^2=17\), откуда \(y^2=1\).

1) При \(y=1\) из первого уравнения \(x=4-1=3\).

2) При \(y=-1\) получаем \(x=4-(-1)=5\).

Обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: \((3;1)\), \((5;-1)\).

Задание 10

Так как \(6^2+8^2=10^2\), треугольник \(ABC\) прямоугольный, \(\angle C=90^\circ\).

Центр описанной окружности \(K\) — середина гипотенузы, поэтому \(AK=5\). Для вписанной окружности с центром \(M\):

\(r=\dfrac{AC+BC-AB}{2}=\dfrac{6+8-10}{2}=2\).

Проведём радиусы \(MF\), \(MG\), \(MH\) к точкам касания. Четырёхугольник \(CFMG\) — квадрат, значит, \(CF=2\), \(AF=6-2=4\).

Касательные из одной точки равны: \(AH=AF=4\). Тогда \(HK=AK-AH=5-4=1\).

В прямоугольном треугольнике \(MHK\):

\(MK=\sqrt{MH^2+HK^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\).

Ответ: \(\sqrt5\).