31. Вариант 31

Вариант 31

Задание 1

Ответ: в) \(1{,}42\cdot10^{-4}\).

Задание 2

Ответ: б) \(\dfrac{3}{n^2}\).

Задание 3

Ответ: а).

Задание 4

Ответ: \(5\) км.

Задание 5

Представим двойное неравенство системой:

\(\begin{cases}4x+1>-4,\\4x+1\leq10;\end{cases}\) откуда \(\begin{cases}x>-\dfrac54,\\x\leq\dfrac94.\end{cases}\)

Целые решения: \(-1;\ 0;\ 1;\ 2\). Наименьшее из них равно \(-1\).

Ответ: \(-1\).

Задание 6

Диагонали прямоугольника равны: \(BD=AC=10\) (см).

1) \(AB+AD=28:2=14\) (см).

Пусть \(AB=x\), тогда \(AD=14-x\).

2) По теореме Пифагора в \(\triangle ABD\):

\(x^2+(14-x)^2=100\);
\(2x^2-28x+96=0\); \(x^2-14x+48=0\).

\(D=196-192=4\); \(x=\dfrac{14\pm2}2\).

Корни: 6 и 8. Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

3) Полупериметр \(\triangle ABD\):
\(p=\dfrac{6+8+10}2=12\) (см).

Радиус вписанной окружности: \(r=p-BD=12-10=2\) (см).

Ответ: 2 см.

Задание 7

\((2\sqrt3)^2=12\), \(\sqrt{20}=2\sqrt5\).

Применим свойство произведения квадратных корней и формулу разности квадратов:

\(=\sqrt{124}\cdot\sqrt{31}=2\sqrt{31}\cdot\sqrt{31}=62\).

Ответ: \(62\).

Задание 8

Единственной общей точке с осью \(Ox\) соответствует единственный корень уравнения \(x^2-5x+5a=0\). Поэтому \(D=0\).

\(D=25-20a\); \(25-20a=0\); \(a=\dfrac54=1{,}25\).

Ответ: \(a=1{,}25\).

Задание 9

\(a_1=32{,}5\), \(d=37{,}5-32{,}5=5\).

\(S_n=\dfrac n2\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)=\dfrac{n(60+5n)}2\).

Требуется \(S_n>2160\), то есть

\(n(60+5n)>4320\); \(n^2+12n-864>0\).

Корни трёхчлена: \(n=\dfrac{-12\pm\sqrt{3600}}2\), то есть −36 и 24.

Получаем \((n+36)(n-24)>0\). Для натурального \(n\) первый множитель положителен, значит \(n>24\).

Ответ: 25.

Задание 10

1) Равнобокая трапеция \(ABCD\) вписана в окружность. Так как \(\angle ACD=90^\circ\), то \(AD\) — её диаметр.

2) \(AD\parallel BC\), поэтому \(\angle DAC=\angle ACB\).

По условию \(\angle BAC=\angle DAC\), значит, \(\angle BAC=\angle ACB\) и \(AB=BC\).

Так как \(AB=CD\), то \(AB=BC=CD\).

3) Пусть \(O\) — середина \(AD\), центр окружности. Проведём \(OB\) и \(OC\). Отрезок \(CO\) — медиана \(\triangle ACD\), поэтому

\(S_{COD}=\dfrac{S_{ACD}}2=\dfrac62=3\) (см\(^2\)).

4) \(OA=OB=OC=OD\) как радиусы окружности. Треугольники \(AOB\), \(BOC\) и \(COD\) равны по трём сторонам. Их площади равны.

5) \(S_{ABCD}=3S_{COD}=3\cdot3=9\) (см\(^2\)).

Ответ: 9 см\(^2\).