29. Вариант 29

Вариант 29

Задание 1

Ответ: б) \((-\infty;-3)\).

Задание 2

Ответ: в) \(-0{,}3\).

Задание 3

Ответ: г).

Задание 4

Ответ: \(7x\).

Задание 5

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\(a^2-64=0\), \(-a-8\ne0\). Отсюда \(a=8\) или \(a=-8\), но \(a=-8\) не подходит.

При \(a=8\) получаем \(10-0{,}5a=10-0{,}5\cdot8=6\).

Ответ: 6.

Задание 6

Диагонали ромба пересекаются в точке \(O\), взаимно перпендикулярны и делятся пополам.

1) Половины диагоналей:

\(OC=18:2=9\) (см),
\(BO=24:2=12\) (см).

2) По теореме Пифагора в \(\triangle BOC\):

\(BC=\sqrt{BO^2+OC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15\) (см).

3) Все стороны ромба равны, поэтому \(P_{ABCD}=4BC=4\cdot15=60\) (см).

Ответ: 60 см.

Задание 7

Пусть в коллективе \(n\) девочек. Каждая дарит по одной открытке остальным \(n-1\) девочкам. Всего \(n(n-1)=42\) открытки.

\(n^2-n-42=0\); \(D=1+168=169\).

\(n=\dfrac{1\pm13}{2}\), то есть \(n=7\) или \(n=-6\) (не подходит).

Ответ: 7 девочек.

Задание 8

Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатель — отличен от нуля:

Из первых двух условий: \(-3\leq x\leq12\).

\(x^2-5x-50=(x-10)(x+5)\), поэтому \(x\ne10\), \(x\ne-5\). В отрезок \([-3;12]\) входит только исключаемая точка 10.

Ответ: \(D(y)=[-3;10)\cup(10;12]\).

Задание 9

По условию \(a_1+a_2+a_3=246\):
\(a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=246\);
\(3a_1+3d=246\).

Так как \(a_1=d\), то \(6a_1=246\), \(a_1=d=41\).

По формуле суммы: \(S_5=\dfrac{2a_1+d(5-1)}2\cdot5=\)
\(=\dfrac{2\cdot41+41\cdot4}2\cdot5=123\cdot5=615\).

Ответ: 615.

Задание 10

Найдём \(AC=AN+NC=8+7=15\) (см).

1) Пусть \(AM=x>0\) (см), тогда \(AB=x+14\) (см).

По свойству секущих окружности \(AB\cdot AM=AC\cdot AN\).

\(x(x+14)=15\cdot8\); \(x^2+14x-120=0\).

\(D=14^2+480=676\); \(x=\dfrac{-14\pm26}{2}\).

Из корней 6 и −20 подходит \(x=6\). Поэтому \(AB=6+14=20\) (см).

2) Угол \(A\) — угол треугольника, значит \(\sin A>0\). По основному тригонометрическому тождеству:

\(\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\sqrt{1-\dfrac{19}{100}}=\dfrac9{10}\).

3) \(S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC\cdot\sin A=\)

\(=\dfrac12\cdot20\cdot15\cdot\dfrac9{10}=135\) (см\(^2\)).

Ответ: 135 см\(^2\).