28. Вариант 28

Вариант 28

Задание 1

Ответ: д) $$x^2-4x$$ .

Задание 2

Ответ: г) $$(2;2{,}5)$$ .

$Рисунок к заданию 2 варианта 28$

Задание 3

Ответ: б).

$Рисунок к заданию 3 варианта 28$

Задание 4

Ответ: 115 задач.

$Рисунок к заданию 4 варианта 28$

Задание 5

$\dfrac{(7-x)(x+1)}{3x-2}\geq0$ , $x\ne\dfrac23$ .

Нули числителя $$x=-1$$ и $$x=7$$ входят в решение; точка $x=\dfrac23$ исключается. Расставим знаки дроби:

$Рисунок к заданию 5 варианта 28$

Ответ: $x\in(-\infty;-1]\cup\left(\dfrac23;7\right]$ .

Задание 6

Сдвиг на 1 единицу влево заменяет $$x$$ на $$x+1$$ : $$y=(x+1)^3$$ .

При сдвиге на 3 единицы вниз из значения функции вычитаем 3.

$Рисунок к заданию 6 варианта 28$

Ответ: $$y=(x+1)^3-3$$ .

Задание 7

Проведём из $$O$$ перпендикуляры $$OM$$ , $$OK$$ , $$ON$$ к сторонам $$AB$$ , $$AC$$ , $$BC$$ .

$Рисунок к заданию 7 варианта 28$

Точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Так как $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$ , то $$OM=OK$$ . Из принадлежности $$O$$ биссектрисе угла $$C$$ следует $$OK=ON$$ .

Значит, $$OM=ON$$ : точка $$O$$ внутри угла $$B$$ равноудалена от его сторон. По обратному свойству биссектрисы она лежит на биссектрисе угла $$B$$ .

Что и требовалось доказать.

Задание 8

Освободимся от иррациональности в знаменателях:

$\dfrac2{3+\sqrt7}=\dfrac{2(3-\sqrt7)}{9-7}=3-\sqrt7$ ;

$\dfrac{33}{6-\sqrt3}=\dfrac{33(6+\sqrt3)}{36-3}=6+\sqrt3$ ;

$\dfrac4{\sqrt7+\sqrt3}=\dfrac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3}=\sqrt7-\sqrt3$ .

Сумма в скобках равна $3-\sqrt7+6+\sqrt3+\sqrt7-\sqrt3=9$ .

Ответ: $9^{-1}=\dfrac19$ .

Задание 9

Вынесем общие множители:
$$x(x-y)=9$$ , $$y(y-x)=16$$ .

Из второго уравнения $y\ne0$ , $x-y\ne0$ . Разделим первое уравнение на второе:

$\dfrac{x(x-y)}{y(y-x)}=\dfrac9{16}$ , то есть $-\dfrac xy=\dfrac9{16}$ , $x=-\dfrac9{16}y$ .

Подставим во второе уравнение:
$y^2+\dfrac9{16}y^2=16$ ;
$\dfrac{25}{16}y^2=16$ , $y^2=\dfrac{256}{25}$ , $y=\pm\dfrac{16}5$ .

При $y=\dfrac{16}5$ : $x=-\dfrac9{16}\cdot\dfrac{16}5=-\dfrac95$ .
При $y=-\dfrac{16}5$ : $x=\dfrac95$ .

Ответ: $\left(\dfrac95;-\dfrac{16}5\right)$ , $\left(-\dfrac95;\dfrac{16}5\right)$ .

Задание 10

Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, поэтому $$ABCD$$ — ромб.

$Рисунок к заданию 10 варианта 28$

1) Высота $$BK=BH+HK=15+9=24$$ (см).

2) Диагональ ромба $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам. В прямоугольном $\triangle ABK$ отрезок $$AH$$ — биссектриса.

По её свойству $\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{BH}{HK}=\dfrac{15}{9}=\dfrac53$ .

3) Пусть $$AB=5x$$ , $$AK=3x$$ , $$x>0$$ . По теореме Пифагора:

$$(5x)^2=(3x)^2+24^2$$ ;
$$25x^2=9x^2+576$$ ;
$$16x^2=576$$ , $$x^2=36$$ , $$x=6$$ .

4) Сторона ромба $AD=AB=5\cdot6=30$ (см).

$S_{ABCD}=AD\cdot BK=30\cdot24=720$ (см $$^2$$ ).

Ответ: 720 см $$^2$$ .