24. Вариант 24

Вариант 24

Задание 1

Ответ: а) $$A(-4; 3)$$ .

$Рисунок к заданию 1 варианта 24$

Задание 2

Ответ: д) $\dfrac ba$ .

Задание 3

Ответ: в).

$Рисунок к заданию 3 варианта 24$

Задание 4

Ответ: $\left(\dfrac13;5\right)$ .

$Рисунок к заданию 4 варианта 24$

Задание 5

$$b_2=b_1q$$ , поэтому $b_1=\dfrac{12}{0{,}4}=30$ .

Так как $$|q|<1$$ , сумма прогрессии $S=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{30}{1-0{,}4}=50$ .

$Рисунок к заданию 5 варианта 24$

Ответ: 50.

Задание 6

Выполним умножение и деление:

$\dfrac5{12}\cdot\left(-\dfrac35\right)=-\dfrac14$ ;
$\dfrac14:\left(-\dfrac58\right)=-\dfrac25$ ;
$\dfrac17:\dfrac47=\dfrac14$ .

Значение выражения:
$-\dfrac14-\dfrac25-\dfrac14=-\dfrac9{10}=-0{,}9$ .

$Рисунок к заданию 6 варианта 24$

Ответ: $$-0{,}9>-1{,}1$$ .

Задание 7

Стороны треугольника: 10, 24 и 26 см.

$Рисунок к заданию 7 варианта 24$

Так как $$10^2+24^2=26^2$$ , треугольник прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора.

Его катеты равны 10 и 24 см. Поэтому $S=\dfrac{10\cdot24}{2}=120$ см $$^2$$ .

Ответ: 120 см $$^2$$ .

Задание 8

Первое неравенство даёт $$-8<x<8$$ . Второе: $$2x(2x-5)>0$$ , то есть $$x<0$$ или $x>\dfrac52$ .

$Рисунок к заданию 8 варианта 24$

Пересекаем полученные множества. Натуральные решения — 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: $x\in(-8;0)\cup\left(\dfrac52;8\right)$ ; 5 натуральных решений.

Задание 9

По плану: $1200\cdot0{,}25=300$ дробилок; остаток — 900. Пусть $$x>0$$ — дневная норма.

$Рисунок к заданию 9 варианта 24$

Плановый срок $$1200/x$$ дней, фактический на 3 дня меньше:

$\dfrac{1200}{x}-\left(\dfrac{300}{x}+\dfrac{900}{x+50}\right)=3;$
$\dfrac{900}{x}-\dfrac{900}{x+50}=3.$

Умножим на $$x(x+50)$$ :
$$900(x+50)-900x=3x(x+50);$$
$$x^2+50x-15000=0.$$

$$D=62500$$ , $x=\dfrac{-50\pm250}{2}$ , то есть $$100$$ или $$-150$$ .

Положительная норма $$x=100$$ . Фактически работали $$300:100+900:150=3+6=9$$ дней.

Ответ: 9 дней.

Задание 10

Хорды $AB\perp CD$ , $$AK=4$$ , $$KB=9$$ , $$DK=3$$ . Проведём хорды $$AC$$ и $$AD$$ .

$Перпендикулярные хорды AB и CD и вписанный треугольник ACD$

1) По свойству пересекающихся хорд $CK\cdot DK=AK\cdot KB$ . Тогда $$3CK=36$$ , $$CK=12$$ , $$CD=12+3=15$$ .

2) По теореме Пифагора:

$AD=\sqrt{AK^2+KD^2}=\sqrt{16+9}=5;$
$AC=\sqrt{AK^2+CK^2}=\sqrt{16+144}=4\sqrt{10}.$

3) $S_{ACD}=\dfrac{CD\cdot AK}{2}=\dfrac{15\cdot4}{2}=30.$

Радиус описанной окружности: $R=\dfrac{AC\cdot AD\cdot CD}{4S_{ACD}}=\dfrac{4\sqrt{10}\cdot5\cdot15}{4\cdot30}=\dfrac{5\sqrt{10}}2.$

4) $S_{\text{круга}}=\pi R^2=\dfrac{250\pi}{4}=62{,}5\pi$ .

Ответ: $62{,}5\pi$ .