22. Вариант 22

Вариант 22

Задание 1

Ответ: г) $\dfrac38$ .

Задание 2

Ответ: в) $-\dfrac12$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Рисунок к заданию 3 варианта 22$

Задание 4

Ответ: $$-m-5n$$ .

Задание 5

На самостоятельную работу: $45\cdot\dfrac49=20$ мин.

$Рисунок к заданию 5 варианта 22$

На новую тему: $$45-20=25$$ мин.

Ответ: 25 минут.

Задание 6

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности.

$Рисунок к заданию 6 варианта 22$

1) Гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр окружности: $$AB=2R$$ .

2) Катет напротив угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $$BC=R$$ .

3) По условию $$AB-BC=12$$ , поэтому $$2R-R=12$$ , $$R=12$$ см.

4) $l=2\pi R=24\pi$ см.

Ответ: $24\pi$ см.

Задание 7

$\dfrac{(x-5)^2}{(x+5)(x-4)}\leq0$ , где $x\ne-5$ , $x\ne4$ .

Числитель неотрицателен и обращается в нуль при $$x=5$$ . Это значение удовлетворяет неравенству.

При $x\ne5$ знаменатель должен быть отрицательным: $$(x+5)(x-4)<0$$ , откуда $$-5<x<4$$ .

$Рисунок к заданию 7 варианта 22$

Ответ: $x\in(-5;4)\cup\{5\}$ .

Задание 8

\begin{cases}y=5-3x,\\y=x^2+1.\end{cases}

$Рисунок к заданию 8 варианта 22$

Для прямой отметим точки $$(0;5)$$ , $$(1;2)$$ . Вершина параболы — $$(0;1)$$ ; другие её точки: $(\pm1;2)$ , $(\pm2;5)$ , $(\pm3;10)$ , $(\pm4;17)$ .

По графику получаем точки пересечения $$(-4;17)$$ и $$(1;2)$$ . Сумма ординат: $$17+2=19$$ .

Ответ: $$(-4;17)$$ , $$(1;2)$$ ; сумма ординат 19.

Задание 9

Пусть три числа арифметической прогрессии имеют вид $$ a - d $$ , $$ a $$ , $$ a + d $$ . Их сумма равна 18:

$(a - d) + a + (a + d) = 3a = 18 \implies a = 6$ .

$Рисунок к заданию 9 варианта 22$

После преобразований числа становятся $$ 4 - d $$ , $$ 3 $$ , $$ 6 + d $$ . По условию они образуют геометрическую прогрессию:

$3^2 = (4 - d)(6 + d) \implies 9 = 24 - 2d - d^2$ .

Решим квадратное уравнение:

$d^2 + 2d - 15 = 0 \implies D = 64 \implies d = \dfrac{-2 \pm 8}{2}$ .

Корни уравнения: $$ d = 3 $$ и $$ d = -5 $$ .

При $$ d = 3 $$ : исходные числа $$ 3 $$ , $$ 6 $$ , $$ 9 $$ . Проверка: $$ 1 $$ , $$ 3 $$ , $$ 9 $$ — геометрическая прогрессия с $$ q = 3 $$ .

При $$ d = -5 $$ : исходные числа $$ 11 $$ , $$ 6 $$ , $$ 1 $$ . Проверка: $$ 9 $$ , $$ 3 $$ , $$ 1 $$ — геометрическая прогрессия с $q = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ: $$3, 6, 9$$ или $$11, 6, 1.$$

Задание 10

Проведём $KF\parallel BC$ , $F\in AC$ , и медиану $$CT$$ треугольника $$ACK$$ . Пусть $N=AE\cap KF$ .

$Три медианы треугольника ACK и равные треугольники KEN и CEM$

1) Медиана $$CK$$ делит $\triangle ABC$ пополам:

$S_{ACK}=S_{BCK}=240:2=120$ см $$^2$$ .

2) По теореме Фалеса $$AF=FC$$ , так как $$AK=KB$$ и $KF\parallel BC$ . Поэтому $$AE$$ , $$KF$$ , $$CT$$ — три медианы $\triangle ACK$ .

3) Медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей:

$S_{KEN}=\dfrac16S_{ACK}=120:6=20$ см $$^2$$ .

4) $\triangle KEN=\triangle CEM$ по стороне и двум прилежащим углам: $$CE=EK$$ по условию; $\angle KEN=\angle CEM$ — вертикальные; $\angle EKN=\angle ECM$ — накрест лежащие при $KF\parallel BC$ . Значит, $S_{CEM}=20$ см $$^2$$ .

5) $S_{KEMB}=S_{BCK}-S_{CEM}=120-20=100$ см $$^2$$ .

Ответ: 100 см $$^2$$ .