21. Вариант 21

Вариант 21

Задание 1

Ответ: б) $\dfrac47$ .

Задание 2

Ответ: д) $-\dfrac13$ .

Задание 3

Ответ: г).

$Рисунок к заданию 3 варианта 21$

Задание 4

Ответ: $$-4a-9b$$ .

Задание 5

Алгебра занимает $\dfrac13$ всего времени: $$135:3=45$$ мин.

$Рисунок к заданию 5 варианта 21$

Остальные задания: $$135-45=90$$ мин.

Ответ: 90 минут.

Задание 6

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности.

$Рисунок к заданию 6 варианта 21$

1) Гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр окружности: $$AB=2R$$ .

2) Катет напротив угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $$BC=R$$ .

3) По условию $$AB+BC=24$$ , поэтому $$3R=24$$ , $$R=8$$ см.

4) $S=\pi R^2=64\pi$ см $$^2$$ .

Ответ: $64\pi$ см $$^2$$ .

Задание 7

$\dfrac{(x-4)^2}{(x+4)(x-3)}\le0$ , $x\ne-4,3$ .

При $$x=4$$ дробь равна нулю. При $x\ne4$ числитель положителен; дробь неположительна при отрицательном знаменателе: $$(x+4)(x-3)<0$$ , то есть $$-4<x<3$$ .

$Рисунок к заданию 7 варианта 21$

Ответ: $x\in(-4;3)\cup\{4\}$ .

Задание 8

Выразим $$y$$ : $\begin{cases}y=5-x,\\y=x^2+3.\end{cases}$

$Рисунок к заданию 8 варианта 21$

Прямую строим через точки $$(0;5)$$ , $$(1;4)$$ . Парабола имеет вершину $$(0;3)$$ , проходит через точки $(\pm1;4)$ , $(\pm2;7)$ .

По графику точки пересечения: $$(-2;7)$$ и $$(1;4)$$ . Сумма их ординат: $$7+4=11$$ .

Ответ: $$(-2;7)$$ , $$(1;4)$$ ; сумма ординат 11.

Задание 9

Пусть числа равны $$a-d$$ , $$a$$ , $$a+d$$ . Из условия $$3a=36$$ , поэтому $$a=12$$ .

$Рисунок к заданию 9 варианта 21$

После преобразований получаем $$7-d$$ , $$6$$ , $$24+2d$$ . Квадрат среднего члена геометрической прогрессии равен произведению соседних:

$$36=(7-d)(24+2d)$$ ;
$$36=168-10d-2d^2$$ ;
$$d^2+5d-66=0$$ .

$$D=25+264=289$$ ,
$d=\dfrac{-5\pm17}{2}$ , то есть $$d=6$$ или $$d=-11$$ .

При $$d=6$$ исходные числа: $$6,12,18$$ . Полученные числа $$1,6,36$$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $$q=6$$ .

При $$d=-11$$ исходные числа: $$23,12,1$$ . Полученные числа $$18,6,2$$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=\dfrac13$ .

Ответ: $$6,12,18$$ или $$23,12,1$$ .

Задание 10

Проведём $MF\parallel AC$ , $F\in AB$ , и медиану $$AT$$ треугольника $$ABM$$ . Пусть $N=BE\cap MF$ .

$Медианы треугольника ABM и равные треугольники EMN и EAK$

1) Медиана $$AM$$ делит $\triangle ABC$ пополам:

$S_{ABM}=S_{AMC}=120:2=60$ см $$^2$$ .

2) По теореме Фалеса $$AF=FB$$ , так как $$BM=MC$$ и $MF\parallel AC$ . Поэтому $$BE$$ , $$MF$$ , $$AT$$ — три медианы $\triangle ABM$ .

3) Медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей:

$S_{EMN}=\dfrac16S_{ABM}=60:6=10$ см $$^2$$ .

4) $\triangle EMN=\triangle EAK$ по стороне и двум прилежащим углам: $$AE=EM$$ по условию; $\angle MEN=\angle AEK$ — вертикальные; $\angle EMN=\angle EAK$ — накрест лежащие при $MF\parallel AC$ . Значит, $S_{EAK}=10$ см $$^2$$ .

5) $S_{MEKC}=S_{AMC}-S_{EAK}=60-10=50$ см $$^2$$ .

Ответ: 50 см $$^2$$ .