17. Вариант 17

Вариант 17

Задание 1

Ответ: д).

$График квадратного корня со сдвигом вниз$

Задание 2

Ответ: б) $\dfrac12$ .

$Область определения x больше 2$

Задание 3

Ответ: г).

$Площадь круга$

Задание 4

Ответ: $$(7;10)$$ .

$Точка пересечения прямых$

Задание 5

Дано: вписанный четырёхугольник $$ABCD$$ , центр $O\in AD$ , $\angle ABC=118^\circ$ . Найти: $\angle CAD$ .

$Вписанный четырёхугольник и диаметр AD$

Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают $180^\circ$ : $\angle ADC=180^\circ-118^\circ=62^\circ$ .

$$AD$$ — диаметр, поэтому $\angle ACD=90^\circ$ . В прямоугольном $\triangle ACD$ : $\angle CAD=90^\circ-62^\circ=28^\circ$ .

Ответ: $28^\circ$ .

Задание 6

$$x^2+5x-14<0$$ . Корни соответствующего уравнения:

$$D=25+56=81$$ ; $x=\dfrac{-5\pm9}2$ , то есть $$-7$$ и $$2$$ .

Ветви параболы направлены вверх, значит $$-7<x<2$$ . Целые решения: $$-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1$$ .

Ответ: $$8$$ .

$Восемь целых решений между −7 и 2$

Задание 7

Применим разность квадратов:

\dfrac{71^2-23^2+94\cdot42}{62^2-32^2}=

=\dfrac{(71+23)(71-23)+94\cdot42}{(62+32)(62-32)}=

$=\dfrac{94(48+42)}{94\cdot30}=\dfrac{90}{30}=3$ .

Ответ: $55\%$ от $$3$$ — это $3\cdot\dfrac{55}{100}=1{,}65$ .

$Пятьдесят пять процентов от трёх$

Задание 8

Сравним с квадратом разности:

$$4x^2-ax+25=(2x-5)^2=4x^2-20x+25$$ .

Значит, $$a=20$$ . Уравнение $$(2x-5)^2=0$$ имеет корень $x_0=5/2=2{,}5$ .

Ответ: $a+x_0=20+2{,}5=22{,}5$ .

$Парабола касается оси в двойном корне$

Задание 9

Дано: равнобедренная трапеция $$ABCD$$ , $AD\parallel BC$ , высота $$BK=6$$ см, диагональ $$AC=10$$ см. Найти: $$S$$ .

$Трапеция с двумя высотами BK и CH$

1) Проведём высоту $$CH=BK=6$$ см. В прямоугольном $\triangle ACH$ :

$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{100-36}=8$ см.

2) В равнобедренной трапеции $$AK=HD=x$$ . Тогда $$AD=8+x$$ , $$BC=KH=8-x$$ , поэтому $$AD+BC=16$$ см.

3) $S=\dfrac{AD+BC}2\cdot BK=\dfrac{16}2\cdot6=48$ см $$^2$$ .

Ответ: $$48$$ см $$^2$$ .

Задание 10

Пусть $$x>5$$ ч — время заполнения первой трубой. Вторая заполняет бассейн за $$x-5$$ ч.

$Таблица времени и производительности двух труб$

За $$6$$ ч вместе трубы заполнят не больше одного бассейна: $6\left(\dfrac1x+\dfrac1{x-5}\right)\le1$ .

При $$x>5$$ число $$x(x-5)$$ положительно. Умножим на него: $6(x-5)+6x\le x(x-5)$ ;

$x^2-17x+30\ge0$ ; $(x-2)(x-15)\ge0$ .

Отсюда $x\le2$ или $x\ge15$ . С учётом $$x>5$$ остаётся $x\ge15$ .

$Пересечение решения квадратного неравенства с условием x больше 5$

При $$x=15$$ обе трубы заполняют бассейн за $1:\left(\dfrac1{15}+\dfrac1{10}\right)=6$ ч.

Ответ: наименьшее время — $$15$$ ч.