16. Вариант 16

Вариант 16

Задание 1

Ответ: д) $$[-11;11)$$ .

$Промежуток [−11; 11) несимметричен относительно нуля$

Задание 2

Ответ: в) $$5^3$$ .

Задание 3

Ответ: г).

$Синус угла 150° равен положительной координате 1/2$

Задание 4

Ответ: $$82$$ .

$Второй и шестой члены последовательности: 15 и 67$

Задание 5

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Точка $P=AC\cap BD$ .

$Вписанный четырёхугольник с пересекающимися хордами$

Вписанный угол равен половине соответствующей дуги:

$\overset{\frown}{AB}=2\cdot48^\circ=96^\circ$ ,

$\overset{\frown}{CD}=2\cdot54^\circ=108^\circ$ .

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме соответствующих дуг:

$\angle CPD=\dfrac{96^\circ+108^\circ}{2}=102^\circ$ .

Ответ: $102^\circ$ .

Задание 6

Так как при $x \in (-4; 0]$ выражение $$x + 4$$ положительно, а $$x - 4$$ отрицательно, то: $|x + 4| = x + 4;\, |x - 4| = 4 - x.$

Подставим эти выражения в исходное:

\[ |x - 4| + |x + 4| - 2 = (4 - x) + (x + 4) - 2 = \]

\[ = 4 - x + x + 4 - 2 = 6 \]

$Данный промежуток лежит справа от −4 и слева от 4$

Ответ: $$ 6 $$ .

Задание 7

ОДЗ: $x\ne-3,\ x\ne3$ . Приведём дроби к общему знаменателю:

\dfrac{(x+2)(x-3)+2x}{(x+3)(x-3)}=0.

Числитель равен нулю:

$$x^2-3x+2x-6+2x=0$$ , $$x^2+x-6=0$$ .

$$D=1+24=25$$ , $x=\dfrac{-1\pm5}{2}$ , откуда $$x=2$$ или $$x=-3$$ .

Корень $$-3$$ не входит в ОДЗ. Остаётся $$x=2$$ .

$Исключённые значения −3 и 3; допустимый корень 2$

Ответ: $$x=2$$ .

Задание 8

Разделим двойное неравенство на два.

1) $x^2-x-6\ge0$ . Корни: $$D=1+24=25$$ , $x=\dfrac{1\pm5}{2}$ , то есть $$-2$$ и 3. Ветви параболы направлены вверх, значит, $x\le-2$ или $x\ge3$ .

2) $$x^2+5x-24<0$$ . Корни: $$D=25+96=121$$ , $x=\dfrac{-5\pm11}{2}$ , то есть $$-8$$ и 3. Поэтому $x\in(-8;3)$ .

Пересечение решений: $x\in(-8;-2]$ .

$Решения двух неравенств с разной штриховкой и их пересечение$

Целые решения: $$-7,-6,-5,-4,-3,-2$$ . Разность наибольшего и наименьшего равна $$-2-(-7)=5$$ .

Ответ: 5.

Задание 9

Пусть $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц. Числа имеют вид $$10a+b$$ и $$10b+a$$ .

$Разряды исходного и обратного чисел$

По условию деления с остатком:

\begin{cases}10a+b=6(a+b)+5,\\10b+a=2ab+5.\end{cases}

Из первого уравнения $$4a-5b=5$$ , поэтому $a=\dfrac{5b+5}{4}$ . Подставим во второе:

$$40b+5b+5=2(5b+5)b+20$$ ,

$$10b^2-35b+15=0$$ , $$2b^2-7b+3=0$$ .

$$D=49-24=25$$ , $b=\dfrac{7\pm5}{4}$ , то есть $b=\dfrac12$ или $$b=3$$ .

Цифра целая, значит, $$b=3$$ , $$a=5$$ . Искомое число — 53.

Проверка: $53=6\cdot8+5$ , $$5<8$$ ; $35=2\cdot15+5$ , $$5<15$$ .

Ответ: 53.

Задание 10

Проведём диагональ $$AC$$ и медиану $$CK$$ треугольника $$ABC$$ , где $$K$$ — середина $$AB$$ . Пусть $O=AC\cap BD$ .

$Три медианы треугольника ABC делят его на шесть равновеликих частей$

1) Каждая диагональ делит площадь параллелограмма пополам:

$S_{ABC}=S_{BCD}=\dfrac{240}{2}=120$ см $$^2$$ .

2) Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому $$BO$$ — медиана $\triangle ABC$ . По условию $$BM=MC$$ , значит, $$AM$$ — также медиана. Точка $$F$$ — пересечение трёх медиан.

3) Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников:

$S_{BFM}=\dfrac16S_{ABC}=120:6=20$ см $$^2$$ .

4) $S_{FMCD}=S_{BCD}-S_{BFM}=120-20=100$ см $$^2$$ .

Ответ: 100 см $$^2$$ .