15. Вариант 15

Вариант 15

Задание 1

Ответ: в) $$[-10;10]$$ .

$Отрезок [−10; 10] симметричен относительно нуля$

Задание 2

Ответ: г) $$3^2$$ .

Задание 3

Ответ: б).

$Косинус угла 120° равен отрицательной координате −1/2$

Задание 4

Ответ: $$120$$ .

$Третий и седьмой члены последовательности: 28 и 92$

Задание 5

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность. Точка $P=AC\cap BD$ .

$Вписанный четырёхугольник с пересекающимися хордами$

Вписанный угол равен половине соответствующей дуги:

$\overset{\frown}{AB}=2\cdot72^\circ=144^\circ$ ,

$\overset{\frown}{CD}=2\cdot64^\circ=128^\circ$ .

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме соответствующих дуг:

$\angle APB=\dfrac{144^\circ+128^\circ}{2}=136^\circ$ .

Ответ: $136^\circ$ .

Задание 6

Так как при $x \in (-2; 0]$ выражение $$x + 2$$ положительно, а $$x - 3$$ отрицательно, то: $|x + 2| = x + 2;\, |x - 3| = 3 - x.$

Подставим эти выражения в исходное:

\[ |x - 3| + |x + 2| - 3 = (3 - x) + (x + 2) - 3 = \]

\[ = 3 - x + x + 2 - 3 = 2 \]

$Данный промежуток лежит справа от −2 и слева от 3$

Ответ: $$ 2 $$ .

Задание 7

ОДЗ: $x\ne-2,\ x\ne2$ . Приведём дроби к общему знаменателю:

\dfrac{(x+3)(x-2)-2x}{(x+2)(x-2)}=0.

Числитель равен нулю:

$$x^2-2x+3x-6-2x=0$$ , $$x^2-x-6=0$$ .

$$D=1+24=25$$ , $x=\dfrac{1\pm5}{2}$ , откуда $$x=3$$ или $$x=-2$$ .

Корень $$-2$$ не входит в ОДЗ. Остаётся $$x=3$$ .

$Исключённые значения −2 и 2; допустимый корень 3$

Ответ: $$x=3$$ .

Задание 8

Разделим двойное неравенство на два.

1) $$x^2+6x-16>0$$ . Корни: $$D=36+64=100$$ , $x=\dfrac{-6\pm10}{2}$ , то есть $$-8$$ и 2. Ветви параболы направлены вверх, значит, $$x<-8$$ или $$x>2$$ .

2) $x^2+10x-24\le0$ . Корни: $$D=100+96=196$$ , $x=\dfrac{-10\pm14}{2}$ , то есть $$-12$$ и 2. Поэтому $x\in[-12;2]$ .

Пересечение решений: $x\in[-12;-8)$ .

$Решения двух неравенств с разной штриховкой и их пересечение$

Целые решения: $$-12,-11,-10,-9$$ . Разность наибольшего и наименьшего равна $$-9-(-12)=3$$ .

Ответ: 3.

Задание 9

Пусть $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц. Числа имеют вид $$10a+b$$ и $$10b+a$$ .

$Разряды исходного и обратного чисел$

По условию деления с остатком:

\begin{cases}10a+b=6(a+b)+2,\\10b+a=3ab+5.\end{cases}

Из первого уравнения $$4a-5b=2$$ , поэтому $a=\dfrac{5b+2}{4}$ . Подставим во второе:

$$40b+5b+2=3(5b+2)b+20$$ ,

$$15b^2-39b+18=0$$ , $$(5b-3)(b-2)=0$$ .

Корни $b=\dfrac35$ и $$b=2$$ . Цифра целая, значит, $$b=2$$ , $$a=3$$ . Искомое число — 32.

Проверка: $32=6\cdot5+2$ , $$2<5$$ ; $23=3\cdot6+5$ , $$5<6$$ .

Ответ: 32.

Задание 10

Проведём диагональ $$BD$$ и медиану $$DK$$ треугольника $$BCD$$ , где $$K$$ — середина $$BC$$ . Пусть $O=AC\cap BD$ .

$Три медианы треугольника BCD делят его на шесть равновеликих частей$

1) Каждая диагональ делит площадь параллелограмма пополам:

$S_{ACD}=S_{BCD}=\dfrac{360}{2}=180$ см $$^2$$ .

2) Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому $$CO$$ — медиана $\triangle BCD$ . По условию $$CM=MD$$ , значит, $$BM$$ — также медиана. Точка $$F$$ — пересечение трёх медиан.

3) Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников:

$S_{CFM}=\dfrac16S_{BCD}=180:6=30$ см $$^2$$ .

4) $S_{AFMD}=S_{ACD}-S_{CFM}=180-30=150$ см $$^2$$ .

Ответ: 150 см $$^2$$ .