14. Вариант 14

Вариант 14

Задание 1

Ответ: б) $$(2;-1)$$ .

$Вершина параболы$

Задание 2

Ответ: а) $$-2$$ ; г) $$-3$$ .

$Решения двойного неравенства$

Задание 3

Ответ: в).

$Неравные основания равнобедренной трапеции$

Задание 4

Ответ: $\dfrac72$ .

$Ненулевой корень 7/2$

Задание 5

Дано: ромб $$ABCD$$ , $$BD=24$$ см, $\angle BAC=30^\circ$ . Найти: $$P$$ .

$Диагонали ромба и треугольник AOB$

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Поэтому $\angle AOB=90^\circ$ , $$BO=BD/2=12$$ см.

В $\triangle AOB$ катет $$BO$$ против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $$AB=2BO=24$$ см.

Ответ: $P=4AB=4\cdot24=96$ см.

Задание 6

При $5m+2n\ne0$ :

\dfrac{25m^2-4n^2}{4n^2+25m^2+20mn}-\dfrac{20m}{10m+4n}=

=\dfrac{(5m-2n)(5m+2n)}{(5m+2n)^2}-\dfrac{10m}{5m+2n}=

$=\dfrac{5m-2n-10m}{5m+2n}=\dfrac{-(5m+2n)}{5m+2n}=-1$ .

Ответ: $$-1$$ .

Задание 7

$\begin{cases}x-8y=-6,\\xy-2y=16.\end{cases}$ Из первого уравнения $$x=8y-6$$ . Подставим во второе:

$$(8y-6)y-2y=16$$ ; $$8y^2-8y-16=0$$ ;

$$y^2-y-2=0$$ ; $$(y-2)(y+1)=0$$ .

При $$y=2$$ : $$x=10$$ . При $$y=-1$$ : $$x=-14$$ .

Ответ: $$(10;2)$$ , $$(-14;-1)$$ .

$Пересечения прямой и гиперболы$

Задание 8

Выделим полные квадраты под корнями:

$19-6\sqrt{10}=10-2\cdot3\sqrt{10}+9=(\sqrt{10}-3)^2$ ;

$26-8\sqrt{10}=16-2\cdot4\sqrt{10}+10=(4-\sqrt{10})^2$ .

Так как $3<\sqrt{10}<4$ , оба выражения $\sqrt{10}-3$ и $4-\sqrt{10}$ положительны. Поэтому

\sqrt{19-6\sqrt{10}}+\sqrt{26-8\sqrt{10}}=

$=|\sqrt{10}-3|+|4-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3+4-\sqrt{10}=1$ .

Ответ: $$1$$ .

$Сумма двух отрезков$

Задание 9

Дано: параллелограмм $$ABCD$$ , $$P=34$$ см, $$AB:BC=8:9$$ ; высоты $$BH$$ и $$BK$$ образуют угол $30^\circ$ . Найти: $S_{ABCD}$ .

$Параллелограмм и основания высот H и K$

1) Пусть $$AB=8x$$ , $$BC=9x$$ . Тогда $$2(8x+9x)=34$$ ; $$x=1$$ . Значит, $$AB=CD=8$$ см, $$BC=AD=9$$ см.

2) В четырёхугольнике $$BHDK$$ два прямых угла: $\angle D=360^\circ-90^\circ-90^\circ-30^\circ=150^\circ$ . Поэтому $\angle A=180^\circ-150^\circ=30^\circ$ .

3) $S=AB\cdot AD\sin A=8\cdot9\cdot\dfrac12=36$ см $$^2$$ .

Ответ: $$36$$ см $$^2$$ .

Задание 10

Пусть вся работа равна $$1$$ , $$v$$ — первоначальная производительность каждого студента, $$t$$ — время первой половины работы.

$Два этапа работы с разной производительностью$

После увеличения производительности вместе студенты выполняют $$1{,}14v+1{,}11v=2{,}25v$$ работы в день.

На вторую половину ушло на день меньше:

$2vt=\dfrac12$ , $2{,}25v(t-1)=\dfrac12$ .

Приравняем и разделим на $$v>0$$ :

$$2{,}25(t-1)=2t$$ ; $$0{,}25t=2{,}25$$ ; $$t=9$$ .

Ответ: $$t+(t-1)=9+8=17$$ дней.