13. Вариант 13

Вариант 13

Задание 1

Ответ: а) $$(3;1)$$ .

$Вершина параболы$

Задание 2

Ответ: б) $$-3$$ ; в) $$5$$ .

$Решения строгого двойного неравенства$

Задание 3

Ответ: г).

$Углы параллелограмма не обязательно равны$

Задание 4

Ответ: $\dfrac53$ .

$Ненулевой корень 5/3$

Задание 5

Дано: ромб $$ABCD$$ , $$P=48$$ см, $\angle CAD=30^\circ$ . Найти: $$BD$$ .

$Ромб с равносторонним треугольником ABD$

Все стороны ромба равны: $$AD=AB=P/4=12$$ см. Диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам, поэтому $\angle DAB=60^\circ$ .

Равнобедренный $\triangle DAB$ с углом при вершине $60^\circ$ равносторонний: $$BD=AD=12$$ см.

Ответ: $$12$$ см.

Задание 6

При $2n+3m\ne0$ :

\dfrac{4n^2-9m^2}{9m^2+4n^2+12mn}+\dfrac{12m}{4n+6m}=

=\dfrac{(2n-3m)(2n+3m)}{(2n+3m)^2}+\dfrac{6m}{2n+3m}=

$=\dfrac{2n-3m+6m}{2n+3m}=\dfrac{2n+3m}{2n+3m}=1$ .

Ответ: $$1$$ .

Задание 7

$\begin{cases}x-6y=3,\\xy+3y=12.\end{cases}$ Из первого уравнения $$x=6y+3$$ . Подставим во второе:

$$(6y+3)y+3y=12$$ ; $$6y^2+6y-12=0$$ ;

$$y^2+y-2=0$$ ; $$(y+2)(y-1)=0$$ .

При $$y=1$$ : $$x=9$$ . При $$y=-2$$ : $$x=-9$$ .

Ответ: $$(9;1)$$ , $$(-9;-2)$$ .

$Пересечения прямой и гиперболы$

Задание 8

Выделим полные квадраты под корнями:

$8-2\sqrt7=7-2\sqrt7+1=(\sqrt7-1)^2$ ;

$32-10\sqrt7=25-2\cdot5\sqrt7+7=(5-\sqrt7)^2$ .

Так как $1<\sqrt7<5$ , оба выражения $\sqrt7-1$ и $5-\sqrt7$ положительны. Поэтому

\sqrt{8-2\sqrt7}+\sqrt{32-10\sqrt7}=

$=|\sqrt7-1|+|5-\sqrt7|=\sqrt7-1+5-\sqrt7=4$ .

Ответ: $$4$$ .

$Сумма двух отрезков$

Задание 9

Дано: параллелограмм $$ABCD$$ , $$P=30$$ см, $$AB:BC=2:3$$ ; высоты $$BH$$ и $$BK$$ образуют угол $60^\circ$ . Найти: $S_{ABCD}$ .

$Параллелограмм и две высоты из вершины B$

1) В четырёхугольнике $$BHDK$$ углы при $$H$$ и $$K$$ прямые. Поэтому $\angle D=360^\circ-90^\circ-60^\circ-90^\circ=120^\circ$ .

2) Пусть $$AB=2x$$ , $$BC=3x$$ . Тогда $$2(2x+3x)=30$$ ; $$x=3$$ . Значит, $$AB=6$$ см, $$BC=AD=9$$ см.

3) $S=AD\cdot CD\sin\angle D=9\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt3}2=27\sqrt3$ см $$^2$$ .

Ответ: $27\sqrt3$ см $$^2$$ .

Задание 10

Примем всю работу за $$1$$ , первоначальную производительность каждого студента — за $$v$$ (часть работы в день).

$Таблица объёмов, производительности и времени$

После увеличения производительности вместе студенты выполняют $$1{,}25v+1{,}15v=2{,}4v$$ работы в день.

На первую половину ушло $t_1=\dfrac{0{,}5}{2v}=\dfrac1{4v}$ дней, на вторую — $t_2=\dfrac{0{,}5}{2{,}4v}=\dfrac5{24v}$ дней.

Экономия одного дня: $\dfrac1{4v}-\dfrac5{24v}=1$ ; $\dfrac1{24v}=1$ ; $v=\dfrac1{24}$ .

Значит, $$t_1=6$$ , $$t_2=5$$ . Ответ: $$6+5=11$$ дней.