11. Вариант 11

Вариант 11

Задание 1

Ответ: б) $y=\dfrac14x$ .

$Прямая y=x/4$

Задание 2

Ответ: д) $a^{-18}$ .

Задание 3

Ответ: а).

$Сумма трёх углов равна 180 градусам$

Задание 4

Ответ: $$-0{,}8$$ .

$Наименьший корень −0,8$

Задание 5

Дано: $\angle C=90^\circ$ , $CH\perp AB$ , $\angle ACH=60^\circ$ , $$BC=16$$ см. Найти: радиус описанной окружности $$R$$ .

$Описанная окружность и высота CH$

В прямоугольном $\triangle ACH$ : $\angle A=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ .

Катет $$BC$$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому $$AB=2BC=32$$ см. Гипотенуза $$AB$$ — диаметр описанной окружности.

Ответ: $$R=AB/2=16$$ см.

Задание 6

Освободимся от иррациональности в знаменателях:

$\dfrac1{1+\sqrt2}=\dfrac{1-\sqrt2}{1-2}=\sqrt2-1$ .

$\dfrac1{\sqrt2-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{2-3}=-\sqrt2-\sqrt3$ .

$\dfrac1{\sqrt3+2}=\dfrac{\sqrt3-2}{3-4}=2-\sqrt3$ .

Тогда $\dfrac1{1+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-\sqrt3}-\dfrac1{\sqrt3+2}=$

$=\sqrt2-1-\sqrt2-\sqrt3-(2-\sqrt3)=-3$ .

Ответ: $$-3$$ .

Задание 7

Первое неравенство умножим на $$6$$ :

$3(x+2)-18\le2(x-3)$ ; $3x-12\le2x-6$ ; $x\le6$ .

Второе: $$x^2-5x-6<0$$ . Корни соответствующего уравнения: $$D=49$$ , $x=\dfrac{5\pm7}2$ , то есть $$-1$$ и $$6$$ .

Ветви параболы направлены вверх, поэтому $$-1<x<6$$ . Пересечение с $x\le6$ — тот же промежуток.

Целые решения: $$0,1,2,3,4,5$$ . Ответ: $$6$$ .

$Пересечение неравенств$

Задание 8

$\dfrac{x}{x+1}-\dfrac1x=\dfrac1{x(x+1)}$ . ОДЗ: $x\ne0$ , $x\ne-1$ .

Умножим на $$x(x+1)$$ : $$x^2-(x+1)=1$$ ; $$x^2-x-2=0$$ .

$x=\dfrac{1\pm\sqrt9}2$ , откуда $$x=2$$ или $$x=-1$$ . Второй корень не входит в ОДЗ.

Ответ: $$x=2$$ .

$Отбор корня по ОДЗ$

Задание 9

a = 0.7b, \quad c = b + 42, \quad a = 0.4c

a = 0.4c \Rightarrow 0.7b = 0.4(b + 42) \Rightarrow 0.7b = 0.4b + 16.8 \Rightarrow

\Rightarrow 0.3b = 16.8 \Rightarrow b = \dfrac{16.8}{0.3} = 56

a = 0.7 \cdot 56 = 39.2

\[ c = 56 + 42 = 98 \]

\[ a + b + c = 39.2 + 56 + 98 = 193.2 \]

Ответ: $$ 193.2 $$ .

$Отрезки трёх чисел$

Задание 10

Дано: параллелограмм $$ABCD$$ , $K\in BC$ ; $$AK$$ и $$DK$$ — биссектрисы; $$AK=8$$ см, $$DK=6$$ см. Найти: $S_{ABCD}$ .

$Биссектрисы AK и DK; высота KH$

1) Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$ . Их половины: $\angle KAD+\angle ADK=90^\circ$ . Поэтому $\angle AKD=90^\circ$ .

2) По теореме Пифагора $AD=\sqrt{8^2+6^2}=10$ см.

3) Проведём $KH\perp AD$ . Выразим площадь $\triangle AKD$ двумя способами:

$\dfrac{AD\cdot KH}2=\dfrac{AK\cdot DK}2$ ; $KH=\dfrac{8\cdot6}{10}=4{,}8$ см.

4) $S_{ABCD}=AD\cdot KH=10\cdot4{,}8=48$ см $$^2$$ .

Ответ: $$48$$ см $$^2$$ .