8. Вариант 8

Вариант 8

Задание 1

Ответ: в) $b^{-3}=\dfrac1{b^3}$ .

Задание 2

Ответ: д) $$3$$ .

$Умножениепервогочлена3/4на4$

Задание 3

Ответ: г).

$Ромбнеобязательноквадрат$

Задание 4

Ответ: $$3$$ .

$Наибольшеецелое3впромежуткеот−1до4$

Задание 5

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD\parallel BC$ , $AC\cap BD=O$ ; $$BC=8$$ см, $$BO=4$$ см, $$OD=6$$ см.

Найти: среднюю линию $$MN=q$$ .

$Трапециясдиагоналями,BO=4,OD=6,BC=8$

1) $\angle ADO=\angle CBO$ как накрест лежащие; $\angle AOD=\angle COB$ как вертикальные. Поэтому $\triangle AOD\sim\triangle COB$ .

2) Соответствующие стороны пропорциональны:

$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{OD}{BO}=\dfrac64=\dfrac32$ , значит $AD=8\cdot\dfrac32=12$ см.

3) $q=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{12+8}2=10$ см.

Ответ: $$10$$ см.

Задание 6

\dfrac{x^2 + 8xy + 16y^2}{x + 4y} + \dfrac{4x^2 - y^2}{y - 2x}.

При $x+4y\ne0$ , $y-2x\ne0$ .

Разложим числители на множители:

\dfrac{(x + 4y)^2}{x + 4y} + \dfrac{(2x - y)(2x + y)}{y - 2x}.

Так как $$y - 2x = -(2x - y)$$ , получаем:

\[x + 4y - (2x + y) = 3y - x.\]

Ответ: $$3y - x$$ .

Задание 7

После сдвигов получаем $$g(x)=(x-2)^2-4$$ .

Нули: $$(x-2)^2=4$$ , $x-2=\pm2$ .

Ответ: $$0$$ и $$4$$ .

$Нулисдвинутойпараболы0и4$

Задание 8

ОДЗ: $x\ne4$ , $x\ne-3$ . Так как $$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$$ , получаем:

\dfrac7{(x-4)(x+3)}+\dfrac1{x+3}=-1;

\dfrac{7+x-4}{(x-4)(x+3)}=-1;\quad \dfrac1{x-4}=-1.

Отсюда $$x-4=-1$$ , $$x=3$$ . Значение $$3$$ входит в ОДЗ.

Ответ: $$3$$ .

$Корень3допустимприxнеравном−3и4$

Задание 9

Пусть $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц, $a\ne0$ . Число равно $$10a+b$$ .

$Десяткиaиединицыbдаютчисло10a+b$

По условию: $$10a+b=4(a+b)+3$$ , $$10a+b=3ab+5$$ .

Из первого уравнения $$6a-3b=3$$ , поэтому $$b=2a-1$$ . Подставим во второе:

$$10a+2a-1=3a(2a-1)+5$$ ,

$$6a^2-15a+6=0$$ , или $$2a^2-5a+2=0$$ .

$$D=25-16=9$$ , $a=\dfrac{5\pm3}4$ .

Подходит цифра $$a=2$$ ; $$0.5$$ не подходит. Тогда $b=2\cdot2-1=3$ .

Проверка: $23=4(2+3)+3=3\cdot2\cdot3+5$ ; остатки меньше делителей.

Ответ: $$23$$ .

Задание 10

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$K$$ внутри него; $S_{BKC}=12$ см $$^2$$ , $S_{AKD}=20$ см $$^2$$ . Найти: $S_{ABCD}$ .

$ВысотапараллелограммачерезKсостоитизвысотдвухтреугольников$

Проведём высоту $$H_1H_2$$ через $$K$$ . Пусть $$AD=BC=a$$ , $$H_1K=h_1$$ , $$KH_2=h_2$$ . Высота параллелограмма $$h=h_1+h_2$$ .

Сложим площади треугольников:

S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{ah_2}2+\dfrac{ah_1}2=\dfrac{a(h_1+h_2)}2.

Значит, $12+20=\dfrac{ah}2=\dfrac{S_{ABCD}}2$ .

$S_{ABCD}=2(12+20)=64$ см $$^2$$ .

Ответ: $$64$$ см $$^2$$ .