7. Вариант 7

Вариант 7

Задание 1

Ответ: а) $a^{-4}=\dfrac1{a^4}$ .

Задание 2

Ответ: б) $$2$$ .

$Умножениепервогочлена2/3на3$

Задание 3

Ответ: в).

$Прямоугольник:диагоналиравны,соседниесторонынеравны$

Задание 4

Ответ: $$-2$$ .

$Наименьшее целое−2впромежуткеот−3до5$

Задание 5

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD\parallel BC$ , $AC\cap BD=O$ ; $$AD=10$$ см, $$AO=6$$ см, $$OC=3$$ см.

Найти: среднюю линию $$MN=q$$ .

$Трапеция сдиагоналямииточкойихпересеченияO$

1) $\angle ADO=\angle CBO$ как накрест лежащие; $\angle AOD=\angle COB$ как вертикальные. Поэтому $\triangle AOD\sim\triangle COB$ .

2) Соответствующие стороны пропорциональны:

$\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AO}{OC}=\dfrac63=2$ , значит $BC=\dfrac{10}2=5$ см.

3) $q=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{10+5}2=7.5$ см.

Ответ: $$7.5$$ см.

Задание 6

\dfrac{x^2 + 4xy + 4y^2}{x + 2y} + \dfrac{9x^2 - y^2}{y - 3x}.

При $x+2y\ne0$ , $y-3x\ne0$ .

Разложим числители на множители:

\dfrac{(x + 2y)^2}{x + 2y} + \dfrac{(3x - y)(3x + y)}{y - 3x}.

Так как $$y - 3x = -(3x - y)$$ , получаем:

\[x + 2y - (3x + y) = y - 2x.\]

Ответ: $$y - 2x$$ .

Задание 7

После сдвигов получаем $$g(x)=(x-1)^2-9$$ .

Нули: $$(x-1)^2=9$$ , $x-1=\pm3$ .

Ответ: $$-2$$ и $$4$$ .

$Нулисдвинутойпараболы−2и4$

Задание 8

$\dfrac{5}{x^2 - x - 6} + \dfrac{1}{x + 2} = -1$ .

ОДЗ: $x\ne3$ , $x\ne-2$ .

\dfrac{5}{(x - 3)(x + 2)} + \dfrac{1}{x + 2} = -1

\dfrac{5}{(x - 3)(x + 2)} + \dfrac{(x - 3)}{(x + 2)(x - 3)} = -1 \quad \Rightarrow

\dfrac{5 + (x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = -1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x + 2}{(x - 3)(x + 2)} = -1 \quad \Rightarrow

\Rightarrow \quad \dfrac{1}{x - 3} = -1 \quad \Rightarrow \quad x - 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 2

Ответ: $$ x = 2 $$ .

$Корень2допустимприxнеравном−2и3$

Задание 9

Пусть $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц, $a\ne0$ . Число равно $$10a+b$$ .

$Разряднаязаписьдвузначногочисла$

По условию: $$10a+b=7(a+b)+6$$ , $$10a+b=3ab+11$$ .

Из первого уравнения $$3a-6b=6$$ , поэтому $$a=2b+2$$ . Подставим во второе:

$$10(2b+2)+b=3(2b+2)b+11$$ ,

$$6b^2-15b-9=0$$ , или $$2b^2-5b-3=0$$ .

$$D=25+24=49$$ , $b=\dfrac{5\pm7}4$ .

Подходит цифра $$b=3$$ ; $$-0.5$$ не подходит. Тогда $a=2\cdot3+2=8$ .

Проверка: $83=7(8+3)+6=3\cdot8\cdot3+11$ ; остатки меньше делителей.

Ответ: $$83$$ .

Задание 10

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$M$$ внутри него; $S_{BMC}=6$ см $$^2$$ , $S_{AMD}=10$ см $$^2$$ . Найти: $S_{ABCD}$ .

$Высота параллелограмма черезM состоитиздвухвысоттреугольников$

Проведём высоту $$H_1H_2$$ через $$M$$ . Пусть $$AD=BC=a$$ , $$H_1M=h_1$$ , $$MH_2=h_2$$ . Высота параллелограмма $$h=h_1+h_2$$ .

Сложим площади треугольников:

S_{BMC}+S_{AMD}=\dfrac{ah_2}2+\dfrac{ah_1}2=\dfrac{a(h_1+h_2)}2.

Значит, $6+10=\dfrac{ah}2=\dfrac{S_{ABCD}}2$ .

$S_{ABCD}=2(6+10)=32$ см $$^2$$ .

Ответ: $$32$$ см $$^2$$ .