4. Вариант 4

Вариант 4

Задание 1

Ответ: д) $b^2\cdot b^9=b^{11}$ .

Задание 2

Ответ: а) $12\dfrac{2}{21}$ .

Задание 3

Ответ: в).

$Контрпример: диагонали вытянутого прямоугольника не перпендикулярны$

Задание 4

Ответ: $$3$$ .

$Три целых решения:5,6,7$

Задание 5

Дано: $$R=13$$ см, $$AB$$ — диаметр, $$BC=10$$ см.

Найти: $S_{ABC}$ .

$Прямоугольный треугольник с гипотенузой AB=26 и катетом BC=10$

Угол $$ACB$$ , опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ ; $$AB=2R=26$$ см.

По теореме Пифагора: $AC=\sqrt{26^2-10^2}=24$ см.

$S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{24\cdot10}{2}=120$ см $$^2$$ .

Ответ: $$120$$ см $$^2$$ .

Задание 6

\dfrac{b - 5a}{b - 2\sqrt{5b}\sqrt{a} + 5a} = \dfrac{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{5a})^2}{(\sqrt{b} - \sqrt{5a})^2} =

= \dfrac{(\sqrt{b} - \sqrt{5a})(\sqrt{b} + \sqrt{5a})}{(\sqrt{b} - \sqrt{5a})^2} = \dfrac{\sqrt{b} + \sqrt{5a}}{\sqrt{b} - \sqrt{5a}}.

При $$a = 5$$ , $$b = 4$$ : $\sqrt{b} = 2$ , $\sqrt{5a} = 5$ .

\dfrac{2 + 5}{2 - 5} = -\dfrac{7}{3}.

Ответ: $\dfrac{\sqrt b+\sqrt{5a}}{\sqrt b-\sqrt{5a}}$ ; $-\dfrac73$ .

Задание 7

Функция $f(x)=\dfrac3x$ убывает на промежутке $( -\infty;0)$ . Так как $1<\sqrt3<2$ , то $-11.5<-2.3<-\sqrt3<0$ .

При увеличении отрицательного аргумента значение функции уменьшается, поэтому $f(-\sqrt3)<f(-2.3)<f(-11.5)$ .

Ответ: $f(-\sqrt3)$ , $$f(-2.3)$$ , $$f(-11.5)$$ .

$График функции3/x с тремя заданными аргументами$

Задание 8

Ищем такие числа, которые можно представить как:

$$ n = 71k + 6 $$ , где $$k$$ – целое число и $100 \leq n \leq 999$ .

Находим значения $$k$$ :

100 \leq 71k + 6 \leq 999 \quad \Rightarrow \quad 2 \leq k \leq 13.

Получаем арифметическую прогрессию от $71 \cdot 2 + 6 = 148$ до $71 \cdot 13 + 6 = 929$ , содержащую $$12$$ чисел.

S = \dfrac{148 + 929}{2} \cdot 12 = 6462.

Ответ: $$6462.$$

$Двенадцать членов арифметической прогрессии$

Задание 9

Пусть $$y=x^2+2x+3$$ . Тогда

$$y^2-17y-18=0$$ , $$(y-18)(y+1)=0$$ , откуда $$y=18$$ или $$y=-1$$ .

1) При $$y=18$$ : $$x^2+2x-15=0$$ , поэтому $$x_1=3$$ , $$x_2=-5$$ .

2) При $$y=-1$$ : $$x^2+2x+4=0$$ ; $$D=4-16=-12<0$$ , корней нет.

Условию $|x|\le4$ удовлетворяет только $$x=3$$ .

Ответ: $$3$$ .

$Отрезок от−4 до4 содержит корень3, но не−5$

Задание 10

Дано: $\angle ABC=60^\circ$ ; $KA\perp BA$ , $KC\perp BC$ ; $$KA=2$$ см, $$KC=3$$ см.

Найти: $$BK$$ .

$Угол B, перпендикуляры KA и KC; CK продолжен до M$

Решение. 1) Продлим $$CK$$ до пересечения со стороной $$BA$$ в точке $$M$$ . В прямоугольном $\triangle BCM$ : $\angle BMC=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ .

2) В прямоугольном $\triangle AKM$ катет $$AK$$ лежит напротив угла $30^\circ$ , поэтому $$KM=2AK=4$$ см. Тогда $$CM=CK+KM=3+4=7$$ см.

3) В $\triangle BCM$ : $BC=CM\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{7\sqrt3}{3}$ см.

4) По теореме Пифагора в $\triangle BCK$ :

BK^2=BC^2+CK^2=\left(\dfrac{7\sqrt3}{3}\right)^2+3^2=\dfrac{76}{3}.

BK=\sqrt{\dfrac{76}{3}}=\dfrac{2\sqrt{57}}3\text{ см}.

Ответ: $\dfrac{2\sqrt{57}}3$ см.