3. Вариант 3

Вариант 3

Задание 1

Ответ: а) $a^2\cdot a^8=a^{10}$ .

Задание 2

Ответ: б) $12\dfrac{2}{23}$ .

Задание 3

Ответ: г).

$У квадрата четыре прямых угла, сумма 360 градусов$

Задание 4

Ответ: $$4$$ .

$Целые решения системы: 4, 5, 6 и 7$

Задание 5

Дано: $$R=10$$ см, $$AB$$ — диаметр, $$BC=16$$ см. Найти: $S_{ABC}$ .

$Вписанный прямоугольный треугольник с диаметром AB$

Угол $$ACB$$ , опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ ; $$AB=2R=20$$ см.

По теореме Пифагора: $AC=\sqrt{20^2-16^2}=12$ см.

$S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{12\cdot16}{2}=96$ см $$^2$$ .

Ответ: $$96$$ см $$^2$$ .

Задание 6

\dfrac{a - 7b}{a - 2\sqrt{7a}\sqrt{b} + 7b} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{7b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{7b})^2} =

= \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{7b})(\sqrt{a} + \sqrt{7b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{7b})^2} = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{7b}}{\sqrt{a} - \sqrt{7b}}.

При $$a = 9$$ , $$b = 7$$ : $\sqrt{a} = 3$ , $\sqrt{7b} = 7$ .

\dfrac{3 + 7}{3 - 7} = \dfrac{10}{-4} = -\dfrac{5}{2}.

Ответ: $\dfrac{\sqrt a+\sqrt{7b}}{\sqrt a-\sqrt{7b}}$ ; $-\dfrac52$ .

Задание 7

Функция $f(x)=\dfrac5x$ убывает на промежутке $( -\infty;0)$ . Так как $2<\sqrt5<3$ , то $-10.3<-3.5<-\sqrt5<0$ .

При увеличении отрицательного аргумента значение функции уменьшается, поэтому $f(-\sqrt5)<f(-3.5)<f(-10.3)$ .

Ответ: $f(-\sqrt5)$ , $$f(-3.5)$$ , $$f(-10.3)$$ .

$Сравнение значений гиперболы при отрицательных аргументах$

Задание 8

Ищем такие числа, которые можно представить в виде:

$$ n = 73k + 7 $$ , где $$k$$ – целое число и $100 \leq n \leq 999$ .

Находим значения $$k$$ :

100 \leq 73k + 7 \leq 999 \quad \Rightarrow \quad 2 \leq k \leq 13.

Получаем арифметическую прогрессию от $73 \cdot 2 + 7 = 153$ до $73 \cdot 13 + 7 = 956$ , содержащую $$12$$ чисел.

S = \dfrac{153 + 956}{2} \cdot 12 = 6654.

Ответ: $$6654.$$

$Начало и конец арифметической прогрессии из 12 чисел$

Задание 9

Пусть $$y=x^2+4x+5$$ . Тогда

$$y^2-16y-17=0$$ , $$(y-17)(y+1)=0$$ , откуда $$y=17$$ или $$y=-1$$ .

1) При $$y=17$$ : $$x^2+4x-12=0$$ , поэтому $$x_1=2$$ , $$x_2=-6$$ .

2) При $$y=-1$$ : $$x^2+4x+6=0$$ ; $$D=16-24=-8<0$$ , корней нет.

Условию $|x|\le5$ удовлетворяет только $$x=2$$ .

$Корень 2 лежит в отрезке от −5 до 5, корень −6 вне него$

Ответ: $$2$$ .

Задание 10

Дано: $\angle BAC=60^\circ$ ; $MB\perp AB$ , $MC\perp AC$ ; $$MB=4$$ см, $$MC=8$$ см.

Найти: $$AM$$ .

$Угол A, перпендикуляры MB и MC; MC продолжен до K$

Решение. 1) Продлим $$CM$$ до пересечения со стороной $$AB$$ в точке $$K$$ . В прямоугольном $\triangle ACK$ : $\angle AKC=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ .

2) В прямоугольном $\triangle BMK$ катет $$BM$$ лежит напротив угла $30^\circ$ , поэтому $$MK=2BM=8$$ см. Тогда $$CK=CM+MK=8+8=16$$ см.

3) В $\triangle ACK$ : $AC=CK\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{16\sqrt3}{3}$ см.

4) По теореме Пифагора в $\triangle ACM$ :

AM^2=AC^2+CM^2=\left(\dfrac{16\sqrt3}{3}\right)^2+8^2=\dfrac{448}{3}.

AM=\sqrt{\dfrac{448}{3}}=\dfrac{8\sqrt{21}}3\text{ см}.

Ответ: $\dfrac{8\sqrt{21}}3$ см.