2. Вариант 2

Вариант 2

Задание 1

Ответ: д) $$143$$ .

Задание 2

Ответ: г) $4a^{18}$ .

Задание 3

Ответ: в).

$Контрпример: не все стороны параллелограмма равны$

Задание 4

Ответ: $$-1$$ .

$Интервал (−1,5; 4] и наименьшее целое −1$

Задание 5

\dfrac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16} = \dfrac{(x + 4)(x - 3)}{(x + 4)^2} = \dfrac{x - 3}{x + 4}

При этом $x\ne-4$ .

Ответ: $\dfrac{x - 3}{x + 4}$ .

Задание 6

$$ x $$ – заработная плата без вычета налога. Тогда:

$$ 0.87x = 1131 $$ – заработная плата после удержания налога.

Найдем $$ x $$ :

x = \dfrac{1131}{0.87} = 1300

Ответ: $$1300$$ рублей.

$87% зарплаты составляют 1131 рубль$

Задание 7

Дано: $$ABCD$$ – параллелограмм; $AC \cap BD = O$ ;
$CH \perp AD$ ; $H \in AD$ ; $BC = 10\text{ см}$ ; $CH = 6\text{ см}$ .

Найти: $S_{\triangle AOB}$ .

$Параллелограмм ABCD с диагоналями и высотой CH$

Решение. 1) $S_{ABCD} = BC \cdot CH = 10 \cdot 6 = 60\,(\text{см}^2)$ .

2) Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Поэтому $S_{\triangle ABD} = \dfrac{S_{ABCD}}{2} = \dfrac{60}{2} = 30\,(\text{см}^2)$ .

3) В $\triangle ABD$ отрезок $$AO$$ – медиана, т.к. диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Поэтому $S_{\triangle AOB} = \dfrac{S_{\triangle ABD}}{2} = \dfrac{30}{2} = 15\,(\text{см}^2)$ .

Ответ: $$15$$ см $$^2.$$

Задание 8

Из второго уравнения $$y=4-x$$ . Подставим в первое:

x^2-(4-x)=16;\quad x^2+x-20=0.

D=1+80=81;\quad x=\dfrac{-1\pm9}{2}.

При $$x_1=4$$ : $$y_1=4-4=0$$ .
При $$x_2=-5$$ : $$y_2=4+5=9$$ .

x_1x_2+y_1y_2=4\cdot(-5)+0\cdot9=-20.

Ответ: $$-20$$ .

$Два решения системы на пересечении параболы и прямой$

Задание 9

Функция нечётная, поэтому $$f(-x)=-f(x)$$ . Вычислим:

f\left(\dfrac13\right)=3-\dfrac19=\dfrac{26}9;\quad f\left(-\dfrac13\right)=-\dfrac{26}9.

f(3)=\dfrac13-9=-\dfrac{26}3;\quad f(-3)=\dfrac{26}3.

f\left(-\dfrac13\right)-f(-3)=-\dfrac{26}9-\dfrac{26}3=-11\dfrac59.

Ответ: $-11\dfrac59$ .

$Симметричные точки нечётной функции$

Задание 10

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C=90^\circ$ ; вписанная окружность с центром $$O$$ касается $$AB$$ , $$AC$$ , $$BC$$ в точках $$K$$ , $$M$$ , $$N$$ ; $$AK=4$$ см, $$BK=3$$ см.

Найти: $S_{ABC}$ .

$Прямоугольный треугольник и вписанная окружность$

1) $OM\perp AC$ , $ON\perp BC$ . Прямоугольник $$OMCN$$ с равными соседними сторонами $$OM=ON=r$$ — квадрат. Значит, $$CM=CN=r$$ .

2) По свойству касательных: $$AM=AK=4$$ , $$BN=BK=3$$ . Поэтому $$AC=4+r$$ , $$BC=3+r$$ , $$AB=7$$ .

3) По теореме Пифагора:

$$(4+r)^2+(3+r)^2=7^2;$$
$2r^2+14r+25=49;\quad r^2+7r-12=0.$

$D=49+48=97;\quad r=\dfrac{-7+\sqrt{97}}2>0.$
Второй корень отрицателен и не подходит.

4) Так как $$r^2+7r=12$$ , получаем:

$S_{ABC}=\dfrac{(r+4)(r+3)}2=\dfrac{r^2+7r+12}2=12$ см $$^2$$ .

Ответ: $$12$$ см $$^2$$ .