1. Вариант 1

Вариант 1

Задание 1

Ответ: г) $$36$$ .

Задание 2

Ответ: б) $5a^{19}$ .

Задание 3

Ответ: г).

$Диагонали ромба могут иметь разную длину$

Задание 4

Ответ: $$-2$$ .

$Интервал (−2,5; 3] и наименьшее целое число −2$

Задание 5

\dfrac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = \dfrac{x^2 - 5x - 7x + 35}{(x - 5)^2}

= \dfrac{x(x - 5) - 7(x - 5)}{(x - 5)^2} = \dfrac{(x - 5)(x - 7)}{(x - 5)^2} = \dfrac{x - 7}{x - 5}

При этом $x\ne5$ .

Ответ: $\dfrac{x - 7}{x - 5}$ .

Задание 6

$$ x $$ – заработная плата без вычета налога. Тогда:

$В заработной плате 13% налога и 87% полученной суммы$

$$ 0.87x = 1305 $$ – заработная плата после удержания налога.

Найдем $$ x $$ : $\quad x = \dfrac{1305}{0.87} = 1500$

Ответ: $$1500$$ рублей.

Задание 7

Дано: $$ABCD$$ – параллелограмм; $AC \cap BD = O$ ;
$AH \perp BC$ ; $H \in BC$ ; $AD = 8\text{ см}$ ; $AH = 4\text{ см}$ .

Найти: $S_{\triangle AOD}$ .

$Параллелограмм ABCD, диагонали и высота AH$

Решение. 1) $S_{ABCD} = BC \cdot AH = 8 \cdot 4 = 32\,(\text{см}^2)$ .

2) Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Поэтому $S_{\triangle ABD} = \dfrac{S_{ABCD}}{2} = \dfrac{32}{2} = 16\,(\text{см}^2)$ .

3) В $\triangle ABD$ отрезок $$AO$$ – медиана, т.к. диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{\triangle AOD} = \dfrac{S_{\triangle ABD}}{2} = \dfrac{16}{2} = 8\,(\text{см}^2)$ .

Ответ: $$8$$ см $$^2.$$

Задание 8

Из второго уравнения $$y=9-x$$ . Подставим в первое:

x^2-(9-x)=21;\quad x^2+x-30=0.

D=1+120=121;\quad x=\dfrac{-1\pm11}{2}.

При $$x_1=5$$ : $$y_1=9-5=4$$ .
При $$x_2=-6$$ : $$y_2=9+6=15$$ .

x_1x_2+y_1y_2=5\cdot(-6)+4\cdot15=30.

Ответ: $$30$$ .

$Графики двух уравнений и две точки их пересечения$

Задание 9

Функция нечётная, поэтому $$f(-x)=-f(x)$$ . Вычислим:

f(2)=-2^2-\dfrac12=-\dfrac92;\quad f(-2)=\dfrac92.

f\left(\dfrac12\right)=-\dfrac14-2=-\dfrac94;\quad f\left(-\dfrac12\right)=\dfrac94.

f(-2)-f\left(-\dfrac12\right)=\dfrac92-\dfrac94=2\dfrac14.

Ответ: $2\dfrac14$ .

$Симметричные точки графика нечётной функции$

Задание 10

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C=90^\circ$ . Вписанная окружность с центром $$O$$ касается $$AB$$ , $$AC$$ , $$BC$$ в точках $$K$$ , $$M$$ , $$N$$ ; $$AK=5$$ см, $$BK=3$$ см.

Найти: $S_{ABC}$ .

$Прямоугольный треугольник с вписанной окружностью и радиусами к точкам касания$

1) $OM\perp AC$ , $ON\perp BC$ , поэтому $$OMCN$$ — прямоугольник. Его соседние стороны $$OM=ON=r$$ , значит это квадрат и $$CM=CN=r$$ .

2) Отрезки касательных из одной точки равны: $$AM=AK=5$$ , $$BN=BK=3$$ . Тогда $$AC=5+r$$ , $$BC=3+r$$ , $$AB=8$$ .

3) По теореме Пифагора:

$$(5+r)^2+(3+r)^2=8^2;$$
$2r^2+16r+34=64;\quad r^2+8r-15=0.$

$D=64+60=124;\quad r=-4\pm\sqrt{31}.$
Радиус положителен, поэтому $r=\sqrt{31}-4$ .

4) $S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{(5+r)(3+r)}{2}=$
$=\dfrac{(\sqrt{31}+1)(\sqrt{31}-1)}2=15$ см $$^2$$ .

Ответ: $$15$$ см $$^2$$ .