114. На ребре GH треугольной пирамиды FGHK с равными друг другу рёбрами выбрана такая точка T, что HT : TG = 1 : 3, и через неё проведена прямая h, параллельная медиане HM боковой грани KHF и пересекающая поверхность пирамиды в точке R. Найдите ребро пирамиды, учитывая, что TR  =  6 см.

Дано: $FGHK$ — треугольная пирамида, где $GH=HK=GK=FG=FH=FK,T\in GH, HT:TG=1:3, T\in h, HM$ — медиана $\triangle KHF, h\parallel HM, h\cap (FGK)=R, TR=6$ см.

Найти: $HK.$

Решение:

1) $FGHK$ — пирамида с равными друг другу рёбрами, значит все её грани — равносторонние треугольники.

$T\in h$ и $h\parallel MH,$ значит через точку $T$ и прямую $MH$ проходит плоскость $(GMH).$ Прямая $h\subset (GMH)$ и $h\cap GM=R.$

2) Рассмотрим $\triangle HMK,$ где медиана $HM$ является высотой ($\triangle FHK$ — равносторонний):

Пусть $a$ — длина ребра пирамиды, тогда $MK=\dfrac{1}{2}a=\dfrac{a}{2}.$ По теореме Пифагора в $\triangle HMK,$ в котором $\angle HMK=90°,$ $HK^2=HM^2+MK^2;$

$MH^2=HK^2-MK^2=a^2-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4};$

$MH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$

3) Рассмотрим $\triangle GRT$ и $\triangle GMH:$

$\angle MGH$ — общий,

$\angle GTR=\angle GHM$ как соответственные при $RT\parallel MH$ и секущей $GH.$ Следовательно $\triangle GRT$ подобен $\triangle GMH$ по двум углам.

4) $\dfrac{GT}{GH}=\dfrac{RT}{MH};$

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}};$

$3\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=24;$

$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=8;$

$a\sqrt{3}=16;$

$a=\dfrac{16}{\sqrt{3}}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.$

Ответ: $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.$