113. Через вершины D и Q треугольника PDQ со стороной PQ, равной 20 см, проведена плоскость  α, которой не принадлежит вершина P. Учитывая, что прямая x параллельна прямой PQ и пересекает сторону PD в такой точке C, что PC : CD  =  2 : 3: а) докажите, что прямая x пересекает плоскость α; б) найдите расстояние от точки C до точки пересечения прямой x с плоскостью α.

Дано:

$D,Q\in\alpha.$

$P\notin\alpha.$

$PQ=20\text{ см}.$

$C\in PD.$

$$PC:CD=2:3.$$

$C\in x.$

$x\parallel PQ.$

Найти:

$$CO$$ — ?

Решение:

В отметках отношений на чертеже $$k$$ — общий множитель длин.

а) Прямая $$x$$ лежит в плоскости треугольника $$DPQ$$ , поскольку проходит через $C\in DP$ параллельно $$PQ$$ . В этой плоскости $$x$$ не параллельна $$DQ$$ : иначе $PQ\parallel DQ$ , что невозможно в треугольнике. Обозначим $O=x\cap DQ$ . Так как $DQ\subset\alpha$ , имеем $O\in\alpha$ . Точка $C\notin\alpha$ , поэтому пересечение $$x$$ с $\alpha$ единственно.

б) Из $CO\parallel PQ$ следует подобие $\triangle DCO\sim\triangle DPQ$ . Поэтому

\dfrac{CO}{PQ}=\dfrac{DC}{DP}=\dfrac3{2+3}=\dfrac35,

CO=20\cdot\dfrac35=12\text{ см}.

Ответ: $$12$$ см.