113. Через вершины D и Q треугольника PDQ со стороной PQ, равной 20 см, проведена плоскость  α, которой не принадлежит вершина P. Учитывая, что прямая x параллельна прямой PQ и пересекает сторону PD в такой точке C, что PC : CD  =  2 : 3:

Дано: △PDQ,\triangle PDQ, где P∉α,D∈α,Q∈α,PQ=20P\notin \alpha, D\in \alpha, Q\in \alpha, PQ=20 см; x∥PQ,x∩PD=C,PC:CD=2:3.x\parallel PQ, x\cap PD=C, PC:CD=2:3.

Доказать: x∩α=O.x\cap \alpha = O.

Найти: CO.CO.

Решение:

а) докажите, что прямая x пересекает плоскость α.

1) D∈αD\in \alpha и Q∈α,Q\in \alpha, значит DQ⊂α.DQ\subset \alpha. Следовательно (PQD)∩α=DQ.(PQD)\cap \alpha=DQ.

2) Q∈αQ\in \alpha и P∉α,P\notin \alpha, значит PQ∩α=Q;X∥PQ⇒X∩α=O,PQ\cap \alpha =Q; X\parallel PQ\Rightarrow X\cap \alpha = O, где O∈DQ.O\in DQ.

б) найдите расстояние от точки C до точки пересечения прямой x с плоскостью α.

1) Рассмотрим △DCO\triangle DCO и △DPQ:\triangle DPQ:

∠D\angle D — общий;

∠DOC=∠DQP\angle DOC=\angle DQP как соответственные при x∥PQx\parallel PQ и секущей DQ.DQ.

Следовательно △DCO\triangle DCO подобен △DPQ\triangle DPQ по двум углам.

2) DCDP=COPQ;\dfrac{DC}{DP}=\dfrac{CO}{PQ};

35=CO20;\dfrac{3}{5}=\dfrac{CO}{20};

CO=20⋅35=12 (см).CO=\dfrac{20\cdot 3}{5}=12\,(см).

Ответ: 12 см.