112. Точка P выбрана на ребре LL₁ куба KLMNK₁L₁M₁N₁ (рис. 161). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения с плоскостью M₁N₁M прямой q, проходящей через точку P и параллельной прямой NK₁.

Построение и обоснование.

Проведём диагональ \(L_1M\). Четырёхугольник \(L_1K_1NM\) — параллелограмм: \(L_1K_1\parallel MN\) и \(L_1K_1=MN\). Поэтому \(L_1M\parallel K_1N\).

Через \(P\) проведём в плоскости грани \((LMM_1)\) прямую \(q\parallel L_1M\). Продолжим ребро \(M_1M\) за точку \(M\) до пересечения с \(q\); получим точку \(O\).

По построению \(q\parallel NK_1\). Точка \(O\) принадлежит прямой \(MM_1\), лежащей в плоскости \((M_1N_1M)\). При этом \(P\) не лежит в указанной плоскости. Значит, \(O=q\cap(M_1N_1M)\) — искомая точка.