109. На отрезке AB, конец A которого принадлежит плоскости α, выбрана точка C, и через точки B и C проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках B₁ и C₁ соответственно. Найдите отрезок CC₁, если: а) точка C — середина отрезка AB и BB₁ = 14 см; б) AC : CB = 3 : 2 и BB₁ = 50 см.

Дано:

\(A\in\alpha.\)

\(C\in AB.\)

\(B_1,C_1\in\alpha.\)

\(CC_1\parallel BB_1.\)

а) \(AC=CB.\)

а) \(BB_1=14\text{ см}.\)

б) \(AC:CB=3:2.\)

б) \(BB_1=50\text{ см}.\)

Найти:

\(CC_1\) — ?

Решение:

Параллельные прямые \(CC_1\) и \(BB_1\) лежат в плоскости \((ABB_1)\). Пересечение этой плоскости с \(\alpha\) — прямая \(AB_1\), поэтому \(A,C_1,B_1\) лежат на одной прямой.

а)

В отметках отношений на чертеже \(k\) — общий множитель длин.

Чертёж к задаче 109, панель 1

В треугольнике \(ABB_1\) точка \(C\) — середина \(AB\), а \(CC_1\parallel BB_1\). Значит, \(CC_1\) — средняя линия:

\[CC_1=\dfrac{BB_1}{2}=\dfrac{14}{2}=7\text{ см}.\]

б)

Чертёж к задаче 109, панель 2

Треугольники \(ACC_1\) и \(ABB_1\) подобны по двум углам, так как \(CC_1\parallel BB_1\). Поэтому

\[\dfrac{CC_1}{BB_1}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac3{3+2}=\dfrac35,\]
\[CC_1=50\cdot\dfrac35=30\text{ см}.\]

Ответ: а) \(7\) см; б) \(30\) см.