109. На отрезке AB, конец A которого принадлежит плоскости α, выбрана точка C, и через точки B и C проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках B1 и C1 соответственно. Найдите отрезок CC1, учитывая, что:

а) точка C — середина отрезка AB и BB1 = 14 см;

б) AC : CB = 3 : 2 и BB1 = 50 см.

а)

Дано: $A\in \alpha, C\in AB, CC_1\cap \alpha=C_1, BB_1\cap \alpha = B_1, CC_1\parallel BB_1, BB_1=14$ см, $C$ — середина $AB.$

Найти: $CC_1.$

Решение:

1) Параллельные прямые $CC_1$ и $BB_1$ задают плоскость $(ABB_1).$

$(ABB_1)\cap \alpha = AB_1.$

Поэтому точки $A, C_1$ и $B_1$ лежат на одной прямой.

2) Т.к. $C$ — середина $AB$ и $CC_1\parallel BB_1,$ то $C_1$ — середина $AB_1.$ Значит, $CC_1$ — средняя линия $\triangle ABB_1.$ По свойству средней линии $CC_1=\dfrac{1}{2}BB_1=\dfrac{1}{2}\cdot 14=7\,(см).$

Ответ: 7 см.

б)

Дано: $A\in\alpha, C\in AB, CC_1\cap \alpha=C_1, BB_1\cap \alpha =B_1, CC_1\parallel BB_1, BB_1=50\,см, AC:CB=3:2.$

Найти: $CC_1.$

Решение:

1) Рассмотрим $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1.$

$\angle A$ — общей,

$\angle AC_1C=\angle AB_1B$ как соответственные при $CC_1\parallel BB_1$ и секущей $AB_1.$

Следовательно $\triangle ACC_1$ подобен $\triangle ABB_1$ по двум углам.

2) $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CC_1}{BB_1};$

$\dfrac{3}{5}=\dfrac{CC_1}{50};$

$CC_1=\dfrac{3\cdot 50}{5}=3\cdot 10=30\,(см).$

Ответ: 30 см.